Demonstre que os seguintes números são irracionais:
32+raiz[7]6

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
32+raiz[7]6
é um número irracional. Vamos usar dois fatos fundamentais:
1. A raiz enésima de um inteiro que não é potência enésima perfeita é irracional.
2. Se r é racional e s é irracional, então tfracrs (com rneq0) é irracional.

Passo 2

Provar que raiz[7]6 é irracional por contradição. Suponha que exista uma escrita irredutível
raiz[7]6 = pq
com p,qinZ, qneq0 e gcd(p,q)=1. Elevando ambos os lados à sétima potência, obtemos
p^7 = 6,q^7
O lado direito é divisível por 2 e por 3, logo p^7 também é divisível por 2 e por 3, o que implica que p é múltiplo de 2 e de 3, isto é, de 6. Escrevendo p=6k, temos
(6k)^7 = 6,q^7 Longrightarrow 6^7,k^7 = 6,q^7 Longrightarrow 6^6,k^7 = q^7
Isso mostra que q^7 é múltiplo de 6, e portanto q também é múltiplo de 6. Assim p e q têm o fator 6 em comum, contradizendo gcd(p,q)=1. Concluímos que raiz[7]6 é irracional.

Passo 3

Agora suponha, por absurdo, que
x = 32 + raiz[7]6
seja racional. Escrevendo x = tfracab com a,binZ, bneq0, temos
32 + raiz[7]6 = ab Longrightarrow 3b = al(2 + raiz[7]6r) Longrightarrow raiz[7]6 = 3ba - 2
Como tfrac3ba e 2 são números racionais, a diferença também seria racional. Isso contraria o resultado do Passo 2, de que raiz[7]6 é irracional.

Passo 4

Chegamos a uma contradição ao assumir que tfrac32+raiz[7]6 é racional. Portanto essa fração deve ser irracional.

Resposta

32+raiz[7]6 é irracional.

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