Demonstre que os seguintes números são irracionais:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um número irracional. Vamos usar dois fatos fundamentais:
. A raiz enésima de um inteiro que não é potência enésima perfeita é irracional.
. Se
é racional e
é irracional, então
(com
) é irracional.
Passo 2
Provar que
é irracional por contradição. Suponha que exista uma escrita irredutível
com ,
e
. Elevando ambos os lados à sétima potência, obtemos
com
O lado direito é divisível por
e por
, logo
também é divisível por
e por
, o que implica que
é múltiplo de
e de
, isto é, de
. Escrevendo
, temos
Isso mostra que
é múltiplo de
, e portanto
também é múltiplo de
. Assim
e
têm o fator
em comum, contradizendo
. Concluímos que
é irracional.
Passo 3
Agora suponha, por absurdo, que
seja racional. Escrevendo
com
,
, temos
Como
e
são números racionais, a diferença também seria racional. Isso contraria o resultado do Passo
, de que
é irracional.
Passo 4
Chegamos a uma contradição ao assumir que
é racional. Portanto essa fração deve ser irracional.