Demonstre as seguintes proposições:
Proposição 2. Se A, B e C são eventos de um experimento aleatório E, então vale o seguinte:
Proposição 2. Se A, B e C são eventos de um experimento aleatório E, então vale o seguinte:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três eventos $ A $, $ B $ e $ C $ em um experimento aleatório $ E $. A proposição que precisamos demonstrar é:
Aqui, estamos lidando com operações de união ($ \cup
\cap $) de conjuntos, que são conceitos básicos em teoria dos conjuntos e probabilidade.
Passo 2
Para provar que duas expressões são iguais, uma estratégia comum é mostrar que cada lado da igualdade está contido no outro. Ou seja, vamos mostrar que:
Passo 3
Primeiro, vamos mostrar que
.
Suponha que um elemento $ x $ pertence a
. Isso significa que:
- $ x $ pertence a $ A \cup B $ e
- $ x $ pertence a $ C $.
Se $ x $ pertence a $ A \cup B $, então:
- $ x $ pertence a $ A $ ou
- $ x $ pertence a $ B $.
Se $ x $ pertence a $ A $ e a $ C $, então $ x $ pertence a $ A \cap C $.
Se $ x $ pertence a $ B $ e a $ C $, então $ x $ pertence a $ B \cap C $.
Se $ x $ pertence a $ B $ e a $ C $, então $ x $ pertence a $ B \cap C $.
Portanto, $ x $ pertence a $ (A \cap C) \cup (B \cap C) $.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que
.
Suponha que um elemento $ x $ pertence a $ (A \cap C) \cup (B \cap C) $. Isso significa que:
- $ x $ pertence a $ A \cap C $ ou
- $ x $ pertence a $ B \cap C $.
Se $ x $ pertence a $ A \cap C $, então:
- $ x $ pertence a $ A $ e
- $ x $ pertence a $ C $.
Se $ x $ pertence a $ B \cap C $, então:
- $ x $ pertence a $ B $ e
- $ x $ pertence a $ C $.
Em ambos os casos, $ x $ pertence a $ A \cup B $ e a $ C $, ou seja, $ x $ pertence a $ (A \cup B) \cap C $.
Resposta
Como mostramos que
e
, podemos concluir que: