Demonstre as seguintes proposições:
Proposição 2. Se A, B e C são eventos de um experimento aleatório E, então vale o seguinte:
(A cup B) cap C=(A cap C) cup(B cap C)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três eventos $ A $, $ B $ e $ C $ em um experimento aleatório $ E $. A proposição que precisamos demonstrar é:
A
Aqui, estamos lidando com operações de união ($ \cup B çã \cap $) de conjuntos, que são conceitos básicos em teoria dos conjuntos e probabilidade.

Passo 2

Para provar que duas expressões são iguais, uma estratégia comum é mostrar que cada lado da igualdade está contido no outro. Ou seja, vamos mostrar que:
  1. (A cup B) cap C subseteq (A cap C) cup (B cap C)
  2. (A cap C) cup (B cap C) subseteq (A cup B) cap C

Passo 3

Primeiro, vamos mostrar que (A cup B) cap C subseteq (A cap C) cup (B cap C).
Suponha que um elemento $ x $ pertence a x . Isso significa que:
  • $ x $ pertence a $ A \cup B $ e
  • $ x $ pertence a $ C $.
Se $ x $ pertence a $ A \cup B $, então:
  • $ x $ pertence a $ A $ ou
  • $ x $ pertence a $ B $.
Se $ x $ pertence a $ A $ e a $ C $, então $ x $ pertence a $ A \cap C $.
Se $ x $ pertence a $ B $ e a $ C $, então $ x $ pertence a $ B \cap C $.
Portanto, $ x $ pertence a $ (A \cap C) \cup (B \cap C) $.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que (A cap C) cup (B cap C) subseteq (A cup B) cap C.
Suponha que um elemento $ x $ pertence a $ (A \cap C) \cup (B \cap C) $. Isso significa que:
  • $ x $ pertence a $ A \cap C $ ou
  • $ x $ pertence a $ B \cap C $.
Se $ x $ pertence a $ A \cap C $, então:
  • $ x $ pertence a $ A $ e
  • $ x $ pertence a $ C $.
Se $ x $ pertence a $ B \cap C $, então:
  • $ x $ pertence a $ B $ e
  • $ x $ pertence a $ C $.
Em ambos os casos, $ x $ pertence a $ A \cup B $ e a $ C $, ou seja, $ x $ pertence a $ (A \cup B) \cap C $.

Resposta

Como mostramos que (A cup B) cap C subseteq (A cap C) cup (B cap C) e (A cap C) cup (B cap C) subseteq (A cup B) cap C, podemos concluir que:
(A cup B) cap C = (A cap C) cup (B cap C)

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