Quer-se estimar a renda média no primeiro ano de um profissional. Quantas coletas devem ser realizadas, para ter-se 95 % de confiança de que a média esteja a menos de R , da renda média verdadeira da população. Suponha , da renda média verdadeira da população Suponha conhecido e igual a R conhecido e igual a R . 3.000,00

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Queremos descobrir quantas vezes precisamos coletar dados sobre a renda média no primeiro ano de um profissional. A ideia é ter 95% de confiança de que a nossa média calculada esteja, no máximo, a R$ 1.000,00 de diferença da verdadeira média da população. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados a intervalos de confiança e tamanho de amostra. Já temos o desvio padrão da população, que é R$ 3.000,00.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual fórmula usar. Quando queremos determinar o tamanho da amostra necessário para estimar uma média com um determinado nível de confiança e margem de erro, usamos a fórmula:
n = ( Zalpha/2 cdot sigmaE )^2
Aqui,
  • $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar,
  • $ Z_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança,
  • $ \sigma $ é o desvio padrão da população,
  • $ E $ é a margem de erro máxima permitida.

Passo 3

Vamos identificar cada um dos componentes para substituir na fórmula:
  • Nível de confiança: 95%, o que significa que $ \alpha = 1 - 0.95 = 0.05 $. Logo, $ \alpha/2 = 0.025 $.
  • Valor crítico $ Z_{\alpha/2} $: Para 95% de confiança, o valor de $ Z_{0.025} $ é aproximadamente 1,96.
  • Desvio padrão $ \sigma $: Já foi dado como R$ 3.000,00.
  • Margem de erro $ E $: Queremos que a média esteja a menos de R$ 1.000,00 da verdadeira média.

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
n = ( 1,96 times 30001000 )^2
Primeiro, multiplicamos 1,96 por 3.000:
1,96 times 3000 = 5880
Depois, dividimos por 1.000:
58801000 = 5,88
Por fim, elevamos ao quadrado:
5,88^2 = 34,5744
Como não podemos ter uma fração de coleta, arredondamos para o próximo número inteiro.

Resposta

Precisamos realizar 35 coletas para ter 95% de confiança de que a renda média estimada esteja a menos de R$ 1.000,00 da verdadeira média da população.

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