Quer-se estimar a renda média no primeiro ano de um profissional. Quantas coletas devem ser realizadas, para ter-se
de confiança de que a média esteja a menos de R
, da renda média verdadeira da população. Suponha
conhecido e igual a R
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Queremos descobrir quantas vezes precisamos coletar dados sobre a renda média no primeiro ano de um profissional. A ideia é ter 95% de confiança de que a nossa média calculada esteja, no máximo, a R$ 1.000,00 de diferença da verdadeira média da população. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados a intervalos de confiança e tamanho de amostra. Já temos o desvio padrão da população, que é R$ 3.000,00.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual fórmula usar. Quando queremos determinar o tamanho da amostra necessário para estimar uma média com um determinado nível de confiança e margem de erro, usamos a fórmula:
Aqui,
- $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar,
- $ Z_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança,
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população,
- $ E $ é a margem de erro máxima permitida.
Passo 3
Vamos identificar cada um dos componentes para substituir na fórmula:
- Nível de confiança: 95%, o que significa que $ \alpha = 1 - 0.95 = 0.05 $. Logo, $ \alpha/2 = 0.025 $.
- Valor crítico $ Z_{\alpha/2} $: Para 95% de confiança, o valor de $ Z_{0.025} $ é aproximadamente 1,96.
- Desvio padrão $ \sigma $: Já foi dado como R$ 3.000,00.
- Margem de erro $ E $: Queremos que a média esteja a menos de R$ 1.000,00 da verdadeira média.
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
Primeiro, multiplicamos 1,96 por 3.000:
Depois, dividimos por 1.000:
Por fim, elevamos ao quadrado:
Como não podemos ter uma fração de coleta, arredondamos para o próximo número inteiro.
Resposta
Precisamos realizar 35 coletas para ter 95% de confiança de que a renda média estimada esteja a menos de R$ 1.000,00 da verdadeira média da população.