Seja uma variável aleatória discreta com a seguinte função de distribuição acumulada:
b) Determine a P(X=0 | X é par );
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória discreta com uma função de distribuição acumulada definida em diferentes intervalos de . A parte b) da questão quer que a gente descubra a probabilidade de ser igual a 0 dado que é um número par. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional e entender como extrair as probabilidades individuais de a partir da função de distribuição acumulada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os possíveis valores que pode assumir. Observando a função , vemos que pode ser 0, 1, 2, 3 ou 4.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a probabilidade de cada valor de P(X = x) = F(x) - F(x^-) . A probabilidade de P(X = 0) = F(0) - F(-1) = 12 - 0 = 12 ser igual a um valor específico P(X = 1) = F(1) - F(0) = 35 - 12 = 110 é dada por:
P(X = 2) = F(2) - F(1) = 45 - 35 = 15
onde P(X = 3) = F(3) - F(2) = 910 - 45 = 110 é o limite da função P(X = 4) = F(4) - F(3) = 1 - 910 = 110 quando se aproxima por valores menores.
Vamos calcular para cada valor de :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Agora, vamos identificar quais desses valores são pares. Os números pares entre 0 e 4 são: 0, 2 e 4.
Passo 5
Vamos calcular a probabilidade de P(X é par) = P(X = 0) + P(X = 2) + P(X = 4) = 12 + 15 + 110 ser par, ou seja:
12 = 510, 15 = 210, 110 = 110 é
Somando essas frações:
P(X é par) = 510 + 210 + 110 = 810 = 45
é
Passo 6
Agora, queremos encontrar P(X = 0 mid X é par) = P(X = 0)P(X é par) é, ou seja, a probabilidade de P(X = 0 mid X é par) = 1245 = 12 times 54 = 58 dado que é par. A fórmula da probabilidade condicional é: