Demonstre as seguintes propriedades da adição, multiplicação e transposta de matrizes: sendo
e
matrizes de dimensões compatíveis em cada caso e
é um escalar.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que
para qualquer matriz
. Este é um resultado sobre a operação de transposta de matrizes e utilizaremos a definição de entrada genérica de uma matriz para provar.
Passo 2
Seja
uma matriz de dimensão
cujas entradas são denotadas por
(onde
indica a linha e
a coluna). Por definição, a transposta
é a matriz
cujas entradas satisfazem
Passo 3
Agora aplicamos a transposta em
. A matriz
terá dimensão
, e suas entradas, pelo mesmo princípio, vêm de
Passo 4
Mas pela definição de
sabemos que
. Logo, para todo par de índices
,
Dessa forma,
e
têm exatamente as mesmas entradas em cada posição.
Resposta
Portanto, concluímos que