Demonstre as seguintes propriedades da adição, multiplicação e transposta de matrizes: sendo A, B e C matrizes de dimensões compatíveis em cada caso e alpha é um escalar.
(d) (A^T)^T=A

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que l(A^Tr)^T=A para qualquer matriz A. Este é um resultado sobre a operação de transposta de matrizes e utilizaremos a definição de entrada genérica de uma matriz para provar.

Passo 2

Seja A uma matriz de dimensão mtimes n cujas entradas são denotadas por aij (onde i indica a linha e j a coluna). Por definição, a transposta A^T é a matriz ntimes m cujas entradas satisfazem
(A^T)ij = aji

Passo 3

Agora aplicamos a transposta em A^T. A matriz l(A^Tr)^T terá dimensão mtimes n, e suas entradas, pelo mesmo princípio, vêm de
l((A^T)^Tr)ij = (A^T)ji

Passo 4

Mas pela definição de A^T sabemos que (A^T)ji=aij. Logo, para todo par de índices (i,j),
l((A^T)^Tr)ij = aij
Dessa forma, l(A^Tr)^T e A têm exatamente as mesmas entradas em cada posição.

Resposta

Portanto, concluímos que
l(A^Tr)^T = A

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