Demonstre as seguintes propriedades de números complexos.
;
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar duas propriedades de números complexos. As perguntas que temos que responder são:
- Mostrar que
. - Mostrar que
.
Informações relevantes dadas (ou que vamos usar):
é um número complexo arbitrário; a conjugação complexa e o módulo são definidos pelas fórmulas padrão que vou anotar a seguir como dados úteis para resolver a questão.
Passo 2
Primeiro vamos escrever
em sua forma cartesiana (coordenadas reais), que é a maneira padrão de trabalhar com esses objetos. Seja
onde
e
são números reais (são as partes real e imaginária de
) e
é a unidade imaginária com a propriedade
. A conjugada de
é
O módulo de
é definido por
Logo, por definição,
Passo 3
Agora calculamos o produto
diretamente usando as formas acima. Multiplicando
por
temos:
Faço a expansão passo a passo:
Isso dá
Passo 4
No desenvolvimento anterior os termos
e
se cancelam, e lembrando que
obtemos:
Portanto
Passo 5
Comparando com a definição do módulo ao quadrado, que vimos no Passo 2,
concluímos imediatamente que
o que prova a primeira propriedade pedida.
Passo 6
Agora vamos provar que
. Usando a forma cartesiana de
, ou seja
, calculamos seu módulo:
Mas
é exatamente
. Logo
Passo 7
Como observação alternativa (útil para prova curta): do Passo 5 temos
. Aplicando a conjugação e propriedades algébricas, também se pode ver que
. Tomando raízes não-negativas em ambos os lados (módulos são não-negativos) segue
. Isso é apenas uma forma alternativa de chegar à mesma igualdade.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar: se
, então
, temos
e
ou seja
e
, confirmando na prática as propriedades.