Demonstre as seguintes propriedades de números complexos.
z \bar{z}=|z|^{2} e|\bar{z}|=|z|;

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar duas propriedades de números complexos. As perguntas que temos que responder são:
  • Mostrar que z\bar{z}=|z|^{2}.
  • Mostrar que |\bar{z}|=|z|.
Informações relevantes dadas (ou que vamos usar): z é um número complexo arbitrário; a conjugação complexa e o módulo são definidos pelas fórmulas padrão que vou anotar a seguir como dados úteis para resolver a questão.

Passo 2

Primeiro vamos escrever z em sua forma cartesiana (coordenadas reais), que é a maneira padrão de trabalhar com esses objetos. Seja
z = x + i y,
onde x e y são números reais (são as partes real e imaginária de z) e i é a unidade imaginária com a propriedade i^{2}=-1. A conjugada de z é
\bar{z} = x - i y.
O módulo de z é definido por
|z| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Logo, por definição,
|z|^{2} = x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Agora calculamos o produto z\bar{z} diretamente usando as formas acima. Multiplicando \;z = x+iy\; por \;\bar z = x-iy\; temos:
z\bar{z} = (x+iy)(x-iy).
Faço a expansão passo a passo:
(x+iy)(x-iy)=x\cdot x + x\cdot(-iy) + iy\cdot x + iy\cdot(-iy).
Isso dá
x^{2} - ixy + ixy - i^{2}y^{2}.

Passo 4

No desenvolvimento anterior os termos -ixy e +ixy se cancelam, e lembrando que i^{2}=-1 obtemos:
x^{2} - ixy + ixy - i^{2}y^{2} = x^{2} - (-1)y^{2} = x^{2} + y^{2}.
Portanto
z\bar{z} = x^{2}+y^{2}.

Passo 5

Comparando com a definição do módulo ao quadrado, que vimos no Passo 2,
|z|^{2} = x^{2}+y^{2},
concluímos imediatamente que
z\bar{z} = |z|^{2},
o que prova a primeira propriedade pedida.

Passo 6

Agora vamos provar que |\bar{z}|=|z|. Usando a forma cartesiana de \bar z, ou seja \bar{z}=x-iy, calculamos seu módulo:
|\bar{z}| = \sqrt{x^{2}+(-y)^{2}} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Mas \sqrt{x^{2}+y^{2}} é exatamente |z|. Logo
|\bar{z}| = |z|.

Passo 7

Como observação alternativa (útil para prova curta): do Passo 5 temos z\bar z=|z|^{2}. Aplicando a conjugação e propriedades algébricas, também se pode ver que |\bar z|^{2}=\bar z\,\overline{\bar z}=\bar z z=z\bar z=|z|^{2}. Tomando raízes não-negativas em ambos os lados (módulos são não-negativos) segue |\bar z|=|z|. Isso é apenas uma forma alternativa de chegar à mesma igualdade.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar: se z=3+4i, então \bar z=3-4i, temos
z\bar z=(3+4i)(3-4i)=3^{2}+4^{2}=9+16=25,
e
|z|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5,
ou seja z\bar z=25=|z|^{2} e |\bar z|=5=|z|, confirmando na prática as propriedades.

Resposta

z\bar{z}=|z|^{2}
|\bar{z}|=|z|

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