Sejam
eventos aleatórios. Mostre que:
Se
para
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado trabalha com probabilidades de eventos
e afirma que cada um deles satisfaz
para
. Queremos mostrar que a probabilidade de todos acontecerem simultaneamente, isto é
também é grande, mais precisamente maior ou igual a
. Vamos usar o conceito de evento complementar e a desigualdade de subaditividade (ou união limitada) para probabilidades.
Passo 2
Definimos para cada
o evento complementar
que acontece exatamente quando
não acontece. Como
, segue
Passo 3
Observe que
Pela subaditividade (ou desigualdade da união), temos
Passo 4
Como o complementar da interseção é essa união, vale
Resposta
Assim chegamos a