Sejam A_{1}, A_{2}, \ldots eventos aleatórios. Mostre que:
Se P\left(A_{k}\right) \geq 1-\varepsilon para k=1, \ldots, n, então P\left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right) \geq 1-n \varepsilon.

Passo 1

O enunciado trabalha com probabilidades de eventos A_{1},A_{2},\dots,A_{n} e afirma que cada um deles satisfaz
P(A_{k}) \ge 1 - \varepsilon
para k=1,\dots,n. Queremos mostrar que a probabilidade de todos acontecerem simultaneamente, isto é
P\Bigl(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\Bigr),
também é grande, mais precisamente maior ou igual a 1 - n\varepsilon. Vamos usar o conceito de evento complementar e a desigualdade de subaditividade (ou união limitada) para probabilidades.

Passo 2

Definimos para cada k o evento complementar
B_{k} = A_{k}^{c},
que acontece exatamente quando A_{k} não acontece. Como P(A_{k})\ge1-\varepsilon, segue
P(B_{k}) = P(A_{k}^{c}) = 1 - P(A_{k}) \le 1 - (1 - \varepsilon) = \varepsilon.

Passo 3

Observe que
\Bigl(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\Bigr)^{c} = \bigcup_{k=1}^{n} A_{k}^{c} = \bigcup_{k=1}^{n} B_{k}.
Pela subaditividade (ou desigualdade da união), temos
P\Bigl(\bigcup_{k=1}^{n} B_{k}\Bigr) \le \sum_{k=1}^{n} P(B_{k}) \le \sum_{k=1}^{n} \varepsilon = n\,\varepsilon.

Passo 4

Como o complementar da interseção é essa união, vale
P\Bigl(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\Bigr) = 1 - P\Bigl(\bigcup_{k=1}^{n} B_{k}\Bigr) \ge 1 - n\,\varepsilon.

Resposta

Assim chegamos a
P\Bigl(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\Bigr)\ge 1 - n\,\varepsilon.

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