Sejam A_{1}, A_{2}, \ldots eventos aleatórios. Mostre que:
P\left(\bigcap_{k=1}^{\infty} A_{k}\right) \geq 1-\sum_{k=1}^{\infty} P\left(A_{k}^{c}\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a desigualdade de Bonferroni invertida para uma sequência de eventos A_{1},A_{2},\dots, ou seja,
P\Bigl(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\Bigr)\ge 1-\sum_{k=1}^{\infty}P\bigl(A_{k}^{c}\bigr).
Vamos usar a relação entre evento complementar e união, junto com a subaditividade da probabilidade.

Passo 2

Note que o complemento da interseção é a união dos complementos:
\Bigl(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\Bigr)^{c} =\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}^{c}.

Passo 3

Pela propriedade de complementaridade da probabilidade, temos
P\Bigl(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\Bigr) =1 - P\Bigl(\bigl(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\bigr)^{c}\Bigr) =1 - P\Bigl(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}^{c}\Bigr).

Passo 4

Aplicando a desigualdade de subaditividade (ou união) em probabilidades:
P\Bigl(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}^{c}\Bigr) \le \sum_{k=1}^{\infty}P\bigl(A_{k}^{c}\bigr).

Passo 5

Substituindo no cálculo de P(\cap A_{k}) obtemos
P\Bigl(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\Bigr) \ge 1 - \sum_{k=1}^{\infty}P\bigl(A_{k}^{c}\bigr),
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

P\Bigl(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\Bigr) \ge 1 - \sum_{k=1}^{\infty}P\bigl(A_{k}^{c}\bigr).

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