Sejam
eventos aleatórios. Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a desigualdade de Bonferroni invertida para uma sequência de eventos
, ou seja,
Vamos usar a relação entre evento complementar e união, junto com a subaditividade da probabilidade.
Passo 2
Note que o complemento da interseção é a união dos complementos:
Passo 3
Pela propriedade de complementaridade da probabilidade, temos
Passo 4
Aplicando a desigualdade de subaditividade (ou união) em probabilidades:
Passo 5
Substituindo no cálculo de
obtemos
que é exatamente o que queríamos demonstrar.