Demonstre que uma singularidade isolada z0 de uma função f é um pólo de ordem m se e somente se (z-z0)^m f(z) tiver limite finito e diferente de zero com z z0.

Passo 1

O enunciado quer demonstrar que, para uma função f que tem uma singularidade isolada em z0, essa singularidade é um polo de ordem m se, e somente se,
limzto z0(z-z0)^mf(z)
existe, é finito e não nulo.
Conteúdo: teoria de séries de Laurent, definição de polo de ordem m e remoção de singularidade.

Passo 2

Suponha primeiro que z0 seja um polo de ordem m de f.
Por definição existe uma expansão de Laurent válida em 0<|z-z0|<R:
f(z)=sumn=-m^inftyan(z-z0)^n,
com a-mneq0. Multiplicando ambos os lados por (z-z0)^m obtém-se
(z-z0)^mf(z)=a-m + sumn=1^inftyan-m(z-z0)^n
Como sumn=1^inftyan-m(z-z0)^nto0 quando zto z0, temos
limzto z0(z-z0)^mf(z)=a-m,
que é finito e não nulo.

Passo 3

Agora suponha que
L ;=;limzto z0(z-z0)^mf(z)
exista, seja finito e Lneq0. Defina
g(z) ;=;(z-z0)^mf(z),
que é holomorfa em 0<|z-z0|<R e satisfaz limzto z0g(z)=L. Pelo teorema de remoção de singularidades, g estende-se a uma função holomorfa em |z-z0|<R com g(z0)=Lneq0.

Passo 4

Dessa forma, para zneq z0 perto de z0 temos
f(z)=g(z)(z-z0)^m,
onde g é holomorfa e g(z0)neq0. Isso mostra que f tem um pólo de ordem exatamente m em z0.

Resposta

Fica demonstrado que z0 é pólo de ordem m de f se, e somente se,
limzto z0(z-z0)^mf(z)
existe, é finito e diferente de zero.

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