Demonstre que uma singularidade isolada
de uma função
é um pólo de ordem
se e somente se
tiver limite finito e diferente de zero com
.
Passo 1
O enunciado quer demonstrar que, para uma função
que tem uma singularidade isolada em
, essa singularidade é um polo de ordem
se, e somente se,
existe, é finito e não nulo.
Conteúdo: teoria de séries de Laurent, definição de polo de ordem e remoção de singularidade.
Conteúdo: teoria de séries de Laurent, definição de polo de ordem
Passo 2
Suponha primeiro que
seja um polo de ordem
de
.
Por definição existe uma expansão de Laurent válida em :
Por definição existe uma expansão de Laurent válida em
com
. Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Como
quando
, temos
que é finito e não nulo.
Passo 3
Agora suponha que
exista, seja finito e
. Defina
que é holomorfa em
e satisfaz
. Pelo teorema de remoção de singularidades,
estende-se a uma função holomorfa em
com
.
Passo 4
Dessa forma, para
perto de
temos
onde
é holomorfa e
. Isso mostra que
tem um pólo de ordem exatamente
em
.
Resposta
Fica demonstrado que
é pólo de ordem
de
se, e somente se,
existe, é finito e diferente de zero.