Demonstre que
é pólo de ordem
de uma função
se e somente se
for zero de ordem
de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a relação entre polos de ordem e zeros de ordem nas funções complexas. O conteúdo aqui é teoria de singularidades isoladas (pólos) e zeros de funções holomorfas. Para resolver, vamos usar as definições de pólo de ordem m e de zero de ordem m e manipular f e 1/f localmente perto de z₀.
Passo 2
Suponha primeiro que z₀ seja pólo de ordem m de f. Pela definição de pólo, existe uma vizinhança de z₀ em que f pode ser escrita como f(z)=(z−z₀)^(−m)·g(z), onde g é holomorfa em z₀ e g(z₀)≠0.
A partir dessa representação, vale que 1/f(z)=1/[(z−z₀)^(−m)·g(z)] e, ao reorganizar, obtemos
A partir dessa representação, vale que 1/f(z)=1/[(z−z₀)^(−m)·g(z)] e, ao reorganizar, obtemos
Como g(z₀)≠0, a função h(z)=1/g(z) é holomorfa em z₀ e h(z₀)≠0. Logo 1/f(z)=(z−z₀)^m·h(z), mostrando que z₀ é zero de ordem m de 1/f.
Passo 3
Agora suponha que z₀ seja zero de ordem m de 1/f. Pela definição de zero, existe vizinhança de z₀ onde
com h holomorfa em z₀ e h(z₀)≠0. Invertendo essa relação, temos:
Como h(z₀)≠0, a função k(z)=1/h(z) é holomorfa em z₀ e k(z₀)≠0, e portanto f(z) tem pólo de ordem m em z₀.
Passo 4
Concluímos assim a equivalência: f tem pólo de ordem m em z₀ se e somente se 1/f tem zero de ordem m em z₀.
Resposta
Mostramos que as escritas locais de f e 1/f levam diretamente à equivalência entre pólo de ordem m de f em z₀ e zero de ordem m de 1/f em z₀.