Demonstre que z0 é pólo de ordem m de uma função f se e somente se z0 for zero de ordem m de 1 / f.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a relação entre polos de ordem e zeros de ordem nas funções complexas. O conteúdo aqui é teoria de singularidades isoladas (pólos) e zeros de funções holomorfas. Para resolver, vamos usar as definições de pólo de ordem m e de zero de ordem m e manipular f e 1/f localmente perto de z₀.

Passo 2

Suponha primeiro que z₀ seja pólo de ordem m de f. Pela definição de pólo, existe uma vizinhança de z₀ em que f pode ser escrita como f(z)=(z−z₀)^(−m)·g(z), onde g é holomorfa em z₀ e g(z₀)≠0.
A partir dessa representação, vale que 1/f(z)=1/[(z−z₀)^(−m)·g(z)] e, ao reorganizar, obtemos
1/f(z)=(z−z₀)^mcdot1g(z)
Como g(z₀)≠0, a função h(z)=1/g(z) é holomorfa em z₀ e h(z₀)≠0. Logo 1/f(z)=(z−z₀)^m·h(z), mostrando que z₀ é zero de ordem m de 1/f.

Passo 3

Agora suponha que z₀ seja zero de ordem m de 1/f. Pela definição de zero, existe vizinhança de z₀ onde
1/f(z)=(z−z₀)^m·h(z),
com h holomorfa em z₀ e h(z₀)≠0. Invertendo essa relação, temos:
f(z)=1(z−z₀)^m·h(z)=(z−z₀)^−m·1h(z)
Como h(z₀)≠0, a função k(z)=1/h(z) é holomorfa em z₀ e k(z₀)≠0, e portanto f(z) tem pólo de ordem m em z₀.

Passo 4

Concluímos assim a equivalência: f tem pólo de ordem m em z₀ se e somente se 1/f tem zero de ordem m em z₀.

Resposta

Mostramos que as escritas locais de f e 1/f levam diretamente à equivalência entre pólo de ordem m de f em z₀ e zero de ordem m de 1/f em z₀.

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