Seja
um zero das funções
e
. Supondo ainda que
, mostre que
é singularidade removível de
e
Passo 1
O enunciado diz que
e
são holomorfas numa vizinhança de
e que
, com
. Precisamos mostrar que
tem singularidade removível em
e que
O conteúdo central é usar o desenvolvimento de Taylor de
e
em torno de
.
Passo 2
Como
e
são holomorfas e
, podemos escrever para
perto de
:
onde os restos satisfazem
Passo 3
Para
temos
Passo 4
Ao fazer
, os quocientes
e
tendem a zero. Logo
Como esse limite existe e é finito, basta definir
para remover a singularidade em
.
Resposta
e
é singularidade removível de
.