Seja z0 um zero das funções f e g. Supondo ainda que g^prime(z0) neq 0, mostre que z0 é singularidade removível de f / g e
lim z z0 f(z)g(z)=f^prime(z0)g^prime(z0)

Passo 1

O enunciado diz que f e g são holomorfas numa vizinhança de z0 e que f(z0)=g(z0)=0, com g'(z0)neq0. Precisamos mostrar que f/g tem singularidade removível em z0 e que
limzto z0f(z)g(z) =f'(z0)g'(z0)
O conteúdo central é usar o desenvolvimento de Taylor de f e g em torno de z0.

Passo 2

Como f e g são holomorfas e f(z0)=g(z0)=0, podemos escrever para z perto de z0:
f(z)=f'(z0),(z-z0)+rf(z), g(z)=g'(z0),(z-z0)+rg(z),
onde os restos satisfazem
rf(z)z-z0to0, rg(z)z-z0to0 quando zto z0

Passo 3

Para zneq z0 temos
f(z)g(z) =f'(z0)(z-z0)+rf(z) g'(z0)(z-z0)+rg(z) =f'(z0)+dfracrf(z),z-z0,g'(z0)+dfracrg(z),z-z0,

Passo 4

Ao fazer zto z0, os quocientes tfracrf(z)z-z0 e tfracrg(z)z-z0 tendem a zero. Logo
limzto z0f(z)g(z) =f'(z0)+0g'(z0)+0 =f'(z0)g'(z0)
Como esse limite existe e é finito, basta definir
fg(z0) ;=;f'(z0)g'(z0)
para remover a singularidade em z0.

Resposta

limzto z0f(z)g(z) =f'(z0)g'(z0),
e z0 é singularidade removível de f/g.

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