Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDOs.
y^prime=sec ^2 x sec ^3 y

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
y' = sec^2 x ,sec^3 y
e pede a solução geral pelo método de separação de variáveis.
Para isso, vamos colocar tudo que envolve y de um lado (com dy) e tudo que envolve x do outro (com dx), e depois integrar cada parte.

Passo 2

Separe as variáveis, dividindo ambos os lados por sec^3 y e multiplicando por dx:
dysec^3 y = sec^2 x,dx
Repare que 1/sec^3 y = cos^3 y. Assim
cos^3 y,dy = sec^2 x,dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral cos^3 y,dy = integral sec^2 x,dx

Passo 4

Calcule cada integral. Para a esquerda, use cos^3 y = cos y,(1-sin^2 y). Seja u = sin y, du = cos y,dy. Então
integral cos^3 y,dy = integral (1 - u^2),du = u - u^33 = sin y - sin^3 y3
Para a direita, recorde que integral sec^2 x,dx = tan x.

Passo 5

Igualando as primitivas e somando uma constante C, obtemos
sin y - sin^3 y3 = tan x + C

Resposta

boxedsin y - sin^3 y3 = tan x + C,
que é a forma implícita da solução geral da EDO.

Exercícios relacionados