Determine os pólos, com suas respectivas ordens, no caso de cada uma das funções dadas:
senh zz sen^2(z+pi / 2).

Passo 1

O enunciado pede para achar os polos da função
f(z)=sinh z,z,sin^2l(z+tfracpi2r)
e determinar a ordem de cada polo. O conteúdo é análise de singularidades em funções de variável complexa: identificamos onde o denominador se anula e examinamos se essas singularidades são efetivamente polos (ou removíveis).

Passo 2

Listamos as possíveis singularidades em que o denominador se anula:
  1. Em z=0 (por causa do fator z no denominador).
  2. Nos pontos em que
sinl(z+tfracpi2r)=0
Esses últimos satisfazem
z+tfracpi2=kpi, kinZ,
isto é
zk=kpi-tfracpi2=l(2k-1r),pi2, kinZ

Passo 3

Analisamos z=0. Usamos séries:
sinh z=z+tfracz^36+O(z^5), sinl(z+tfracpi2r)=cos z=1-tfracz^22+O(z^4)
Logo, perto de 0,
f(z) =z+O(z^3),zl(1+O(z^2)r)^2 =z+O(z^3)zl(1+O(z^2)r) =1+O(z^2),
ou seja, o fator z do denominador é cancelado pela raiz simples de sinh z no numerador. Portanto z=0 é singularidade removível, não polo.

Passo 4

Agora em cada
zk=l(2k-1r)pi2, kinZ,
temos sin(zk+pi/2)=0. Como sin w tem zero simples em w=kpi, a função sin^2 tem zero de ordem 2 em cada zk. O numerador sinh zkneq0 (pois sinh w=0 só em w=0 e aqui zkneq0). Concluímos que cada zk é de fato um polo de ordem 2.

Resposta

Os polos de f são
z=l(2k-1r),pi2, kinZ,
cada um de ordem 2. A singularidade em z=0 é removível.

Exercícios relacionados