Demonstre que uma singularidade isolada z0 de uma função f é pólo se e somente se |f(z)| tende a infinito com z z0.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f com singularidade isolada em z0. Precisamos mostrar a equivalência entre:\r
  1. z0 é um pólo de f. \r
  2. lvert f(z)rverttoinfty quando zto z0. \r
    Para isso, de um lado usaremos a forma de Laurent de f em torno de z0; do outro, construímos a função h(z)=1/f(z) e usamos extensão por removibilidade de singularidade.

Passo 2

Suponha que seja pólo de ordem . Então existe e uma função holomorfa em um disco centrado em , com , tais que para todo \r
\r
Como é contínua e , existe e tais que sempre que . Logo, para \r

Passo 3

Agora suponha que quando . Defina a função\r
\r
em . Então\r
\r
quando , ou seja, fica limitada perto de . Pelo Teorema de Removibilidade, estende-se a uma função holomorfa em todo o disco , com valor . Como não é identicamente zero em , ela tem um zero de ordem exata em , isto é,\r
\r
com holomorfa em e . Invertendo,\r
\r
onde é holomorfa em e . Isso mostra que é um pólo de ordem .

Resposta

Mostramos que z0 é pólo de f se, e somente se, lvert f(z)rverttoinfty quando zto z0.

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