Demonstre que uma singularidade isolada
de uma função
é pólo se e somente se
tende a infinito com
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
com singularidade isolada em
. Precisamos mostrar a equivalência entre:\r
-
é um pólo de . \r -
quando . \r
Para isso, de um lado usaremos a forma de Laurent deem torno de ; do outro, construímos a função e usamos extensão por removibilidade de singularidade.
Passo 2
Suponha que
seja pólo de ordem
. Então existe
e uma função holomorfa
em um disco
centrado em
, com
, tais que para todo
\r
Como
é contínua e
, existe
e
tais que
sempre que
. Logo, para
\r
Passo 3
Agora suponha que
quando
. Defina a função\r
\r
em . Então\r
\r
quando , ou seja,
fica limitada perto de
. Pelo Teorema de Removibilidade,
estende-se a uma função holomorfa em todo o disco
, com valor
. Como
não é identicamente zero em
, ela tem um zero de ordem exata
em
, isto é,\r
\r
em
\r
quando
com
holomorfa em
e
. Invertendo,\r
onde
é holomorfa em
e
. Isso mostra que
é um pólo de ordem
.
Resposta
Mostramos que
é pólo de
se, e somente se,
quando
.