Determine a parte principal da função
relativa ao pólo
(
inteiro).
Passo 1
O enunciado pede a parte principal (isto é, os termos de ordem negativa) da expansão de Laurent de
em torno de
.
Conteúdo: identificação da ordem do pólo e uso de expansão de Taylor de em volta de
, seguido de inversão para obter a série de Laurent.
Conteúdo: identificação da ordem do pólo e uso de expansão de Taylor de
Passo 2
Fazemos a mudança de variável
de modo que
corresponde ao ponto
.
Em seguida usamos
Em seguida usamos
pois
.
Passo 3
Expandimos
em série de Taylor até a ordem
:
Logo
Passo 4
Substituímos em
:
Como
, temos
usando a expansão
.
Passo 5
Multiplicando, obtemos a série de Laurent perto de
:
Daí a parte principal (termos com potências negativas) é
Resposta
A parte principal de
em
é