Determine a parte principal da função
f(z)=1(z-n pi)^2 sen z
relativa ao pólo z=n pi ( n inteiro).

Passo 1

O enunciado pede a parte principal (isto é, os termos de ordem negativa) da expansão de Laurent de
f(z)=1(z-npi)^2,sen z
em torno de z0=npi.
Conteúdo: identificação da ordem do pólo e uso de expansão de Taylor de sen z em volta de z=npi, seguido de inversão para obter a série de Laurent.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
w = z - npi,
de modo que w=0 corresponde ao ponto z=npi.
Em seguida usamos
sen z = sen(npi + w) = (-1)^nsen w,
pois sen(npi+w)=sen(npi)cos w+cos(npi)sen w=0+(-1)^nsen w.

Passo 3

Expandimos sen w em série de Taylor até a ordem w^3:
sen w = w - w^36 + O(w^5)
Logo
sen z = (-1)^nl(w - tfracw^36 + O(w^5)r) = (-1)^n,wl(1 - w^26 + O(w^4)r)

Passo 4

Substituímos em f:
f(z) =1w^2,sen z =1w^2;(-1)^n,w,(1 - tfracw^26 + O(w^4)) =1(-1)^n;1w^3;11 - tfracw^26 + O(w^4)
Como tfrac1(-1)^n=(-1)^n, temos
f(z)=(-1)^n,1w^3;gl(1 + w^26 + O(w^4)gr),
usando a expansão tfrac11-u=1+u+O(u^2).

Passo 5

Multiplicando, obtemos a série de Laurent perto de w=0:
f(z)=(-1)^nl(w^-3 + tfrac16w^-1 + O(w)r)
Daí a parte principal (termos com potências negativas) é
(-1)^n,w^-3;+;(-1)^n,16,w^-1

Resposta

A parte principal de f em z=npi é
(-1)^n,1(z-npi)^3 ;+; (-1)^n,16,1(z-npi)

Exercícios relacionados