Demonstre que a soma ou a diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que a soma ou a diferença entre um número racional e um número irracional resulta sempre em um número irracional. Isso está dentro da matéria de números reais, especificamente lidando com números racionais e irracionais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números racionais e irracionais e usar um argumento de contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma fração ab, onde a e b são inteiros e b neq 0. Exemplos de números racionais são 12, 3, e -4.

Passo 3

Agora, um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros. Eles têm uma expansão decimal infinita e não periódica. Exemplos famosos são raiz2 e pi.

Passo 4

Vamos começar provando que a soma de um número racional e um irracional é irracional. Para isso, vamos supor o contrário, ou seja, que a soma seja racional, e ver se isso leva a uma contradição.

Passo 5

Suponha que r seja um número racional e i seja um número irracional, e que r + i seja racional. Vamos chamar r + i = q, onde q é racional.

Passo 6

Queremos isolar i, então subtraímos r de ambos os lados: i = q - r.

Passo 7

Agora, como q e r são ambos racionais, a diferença entre dois racionais ( q - r) também é racional. Isso significa que i seria racional.

Passo 8

Mas isso é uma contradição, porque i é irracional por definição. Portanto, nossa suposição inicial de que r + i é racional está errada.

Passo 9

Assim, concluímos que a soma de um número racional e um irracional deve ser irracional.

Passo 10

Agora, vamos provar que a diferença entre um número racional e um irracional também é irracional usando o mesmo raciocínio.

Passo 11

Suponha que r seja racional e i irracional, e que r - i = q, onde q é racional.

Passo 12

Isolando i, temos i = r - q.

Passo 13

Novamente, r e q são racionais, então r - q é racional, o que implicaria que i é racional.

Passo 14

Isso é uma contradição, já que assumimos que i é irracional. Logo, nossa suposição de que r - i é racional está errada.

Resposta

A soma ou a diferença entre um número racional e um número irracional sempre resulta em um número irracional.

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