Demonstre que a soma ou a diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que a soma ou a diferença entre um número racional e um número irracional resulta sempre em um número irracional. Isso está dentro da matéria de números reais, especificamente lidando com números racionais e irracionais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números racionais e irracionais e usar um argumento de contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Exemplos de números racionais são
,
, e
.
Passo 3
Agora, um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros. Eles têm uma expansão decimal infinita e não periódica. Exemplos famosos são
e
.
Passo 4
Vamos começar provando que a soma de um número racional e um irracional é irracional. Para isso, vamos supor o contrário, ou seja, que a soma seja racional, e ver se isso leva a uma contradição.
Passo 5
Suponha que
seja um número racional e
seja um número irracional, e que
seja racional. Vamos chamar
, onde
é racional.
Passo 6
Queremos isolar
, então subtraímos
de ambos os lados:
.
Passo 7
Agora, como
e
são ambos racionais, a diferença entre dois racionais (
) também é racional. Isso significa que
seria racional.
Passo 8
Mas isso é uma contradição, porque
é irracional por definição. Portanto, nossa suposição inicial de que
é racional está errada.
Passo 9
Assim, concluímos que a soma de um número racional e um irracional deve ser irracional.
Passo 10
Agora, vamos provar que a diferença entre um número racional e um irracional também é irracional usando o mesmo raciocínio.
Passo 11
Suponha que
seja racional e
irracional, e que
, onde
é racional.
Passo 12
Isolando
, temos
.
Passo 13
Novamente,
e
são racionais, então
é racional, o que implicaria que
é racional.
Passo 14
Isso é uma contradição, já que assumimos que
é irracional. Logo, nossa suposição de que
é racional está errada.
Resposta
A soma ou a diferença entre um número racional e um número irracional sempre resulta em um número irracional.