Fazendo \left(C_{1}+C_{2}\right)=\theta_{0} \cos \alpha, e i\left(C_{1}-C_{2}\right)=-\theta_{0} \sin \alpha, mostre que a solução geral do problema anterior pode ser reescrita como
\theta(t)=\theta_{0} \cos (\omega t+\alpha),
sendo \alpha uma costante de fase.

Passo 1

O enunciado parte da solução geral
\theta(t) = C_{1}e^{i\omega t} + C_{2}e^{-i\omega t}
da equação de movimento harmônico, e adota as definições
(C_{1}+C_{2})=\theta_{0}\cos\alpha
e
i(C_{1}-C_{2})=-\theta_{0}\sin\alpha.
Nosso objetivo é reescrever essa solução na forma real
\theta(t)=\theta_{0}\cos(\omega t+\alpha).

Passo 2

A partir de
(C_{1}+C_{2})=\theta_{0}\cos\alpha
e
i(C_{1}-C_{2})=-\theta_{0}\sin\alpha
seguimos para
C_{1}-C_{2}=-\frac{\theta_{0}\sin\alpha}{i}=i\,\theta_{0}\sin\alpha.
Então calculamos
C_{1}=\frac{(C_{1}+C_{2})+(C_{1}-C_{2})}{2} =\frac{\theta_{0}\cos\alpha + i\,\theta_{0}\sin\alpha}{2} =\frac{\theta_{0}}{2}e^{i\alpha},
C_{2}=\frac{(C_{1}+C_{2})-(C_{1}-C_{2})}{2} =\frac{\theta_{0}\cos\alpha - i\,\theta_{0}\sin\alpha}{2} =\frac{\theta_{0}}{2}e^{-i\alpha}.

Passo 3

Substituindo essas expressões em
\theta(t)=C_{1}e^{i\omega t}+C_{2}e^{-i\omega t}
obtemos
\theta(t) =\frac{\theta_{0}}{2}\bigl(e^{i\alpha}e^{i\omega t}+e^{-i\alpha}e^{-i\omega t}\bigr) =\frac{\theta_{0}}{2}\bigl(e^{i(\omega t+\alpha)}+e^{-i(\omega t+\alpha)}\bigr).
Pelo Teorema de Euler isso equivale a
\theta(t)=\theta_{0}\cos(\omega t+\alpha).

Resposta

\theta(t)=\theta_{0}\cos(\omega t+\alpha)

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