Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear tal que T(1,0,0)=(1,0,1), T(0,1,0)= (-2,0,1) e T(0,0,1)=(0,1,0). Determine \left.T^{( }-1\right): \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, onde T^{-1}(T(v))=v.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado (peguei estes vetores do enunciado):
    • T(1,0,0)=(1,0,1).
    • T(0,1,0)=(-2,0,1).
    • T(0,0,1)=(0,1,0).
  • O que é pedido:
    • Determinar T^{-1}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 tal que T^{-1}(T(v))=v para todo v\in\mathbb{R}^3.

Passo 2

Entendendo a estratégia (sem ainda calcular): como T é linear e foram dadas as imagens dos vetores da base canônica (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), podemos escrever a matriz A de T relativa à base canônica cujas colunas são exatamente as imagens desses vetores. Depois calculamos A^{-1} e usamos T^{-1}(v)=A^{-1}v.
Explicando por que: se v=(x,y,z) então, por linearidade,
T(v)=x\,T(1,0,0)+y\,T(0,1,0)+z\,T(0,0,1)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},
onde as colunas de A são T(1,0,0),T(0,1,0),T(0,0,1).

Passo 3

Montar a matriz A de T com base nas imagens fornecidas (cada coluna é T de um vetor da base):
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Verificar que A é invertível (precisamos de A^{-1}). Vou calcular o determinante de A. Usando expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix} +(-2)\cdot(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix} +0\cdot\cdots.
Calcule o menor comum:
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}=0\cdot0-1\cdot1=-1.
Portanto
\det(A)=1\cdot(-1)+(-2)\cdot(-1)= -1-2=-3\neq0.
Como \det(A)\neq0, A é inversível e T é bijetora; existe T^{-1}.]

Passo 5

Vou calcular A^{-1} pelo método de Gauss–Jordan. Escrevo a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Executar operações de linha para transformar a parte esquerda em I.
  1. Zerar o elemento a_{31} fazendo R_3\leftarrow R_3-R_1:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Trocar R_2 e R_3 para ter pivô não nulo na coluna 2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 7

Continuar a redução:
  1. Tornar o pivô da linha 2 igual a 1 fazendo R_2\leftarrow \tfrac{1}{3}R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].
  1. Eliminar o -2 em a_{12} fazendo R_1\leftarrow R_1+2R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1+\!2\left(-\tfrac{1}{3}\right) & 0 & 0+2\cdot\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].
Calcule os novos termos da primeira linha à direita:
1+2\left(-\tfrac{1}{3}\right)=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3},\qquad 0,\qquad 0+ \tfrac{2}{3}=\tfrac{2}{3}.]

Passo 8

Após essas operações, a matriz aumentada ficou:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{2}{3}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].
A parte esquerda é agora a identidade, então a parte direita é A^{-1}.]

Passo 9

Ler A^{-1} da parte direita (resultado do Gauss–Jordan):
A^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{2}{3}\\[4pt] -\tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Isso significa que as colunas de A^{-1} são as imagens dos vetores da base pela transformação inversa:
T^{-1}(1,0,0)=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad T^{-1}(0,1,0)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad T^{-1}(0,0,1)=\begin{pmatrix}\tfrac{2}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Resposta

[T^{-1}] = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{2}{3}\\[4pt] -\tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
T^{-1}(x,y,z)=\left(\tfrac{1}{3}x+\tfrac{2}{3}z,\; -\tfrac{1}{3}x+\tfrac{1}{3}z,\; y\right)]

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