Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear tal que T(1,0,0)=(1,0,1), T(0,1,0)= (-2,0,1) e T(0,0,1)=(0,1,0). Determine \left.T^{( }-1\right): \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, onde T^{-1}(T(v))=v.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado (peguei estes vetores do enunciado):
T(1,0,0)=(1,0,1).
T(0,1,0)=(-2,0,1).
T(0,0,1)=(0,1,0).
O que é pedido:
Determinar T^{-1}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 tal que T^{-1}(T(v))=v para todo v\in\mathbb{R}^3.
Passo 2
Entendendo a estratégia (sem ainda calcular): como T é linear e foram dadas as imagens dos vetores da base canônica (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), podemos escrever a matriz A de T relativa à base canônica cujas colunas são exatamente as imagens desses vetores. Depois calculamos A^{-1} e usamos T^{-1}(v)=A^{-1}v.
Explicando por que: se v=(x,y,z) então, por linearidade,