Suponha uma partícula de massa m no estado
Psi(x, t)=A e^-a[m x^2hbar+i t]
onde A e a são constantes.
Determine o potencial V(x) da equação de Schrödinger para a qual Psi é solução.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma partícula de massa Psi(x,t)=A,e^-al[m x^2hbar+i,tr],, com função de onda
ihbar,partialPsipartial t ;=;l(-hbar^22m,partial^2partial x^2 + V(x)r)Psi
e quer saber qual potencial faz dessa uma solução da equação de Schrödinger dependente do tempo.
Conteúdo: vamos usar a equação
e precisaríamos:
  1. calcular ,
  2. calcular ,
  3. igualar tudo e isolar .

Passo 2

Primeiro, vejamos f(x,t)=-al(m x^2hbar+i,tr) .
A gente sabe que partialPsipartial t = Psi,partial fpartial t = Psi,(-a,i) com
ihbar,partialPsipartial t = ihbarl(Psi,(-a,i)r) = hbar,a,Psi
Como só a parte depende de , basta usar a regra da cadeia:
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Passo 3

Agora a segunda derivada em dfdx=-a,2m xhbar, .
De novo partialPsipartial x = Psi;l(-2a,m,xhbarr) , mas agora partial^2Psipartial x^2 = partialpartial xl[Psi,(-2a m x/hbar)r] = partialPsipartial x,(-2a m x/hbar) + Psi,ddxl(-2a m x/hbarr) tem a parte partial^2Psipartial x^2 = Psil[l(-tfrac2amxhbarr)^2 + l(-tfrac2amhbarr)r] = Psil(4a^2m^2x^2hbar^2 - 2amhbarr) .
  1. Primeiro -hbar^22m,partial^2Psipartial x^2 = Psil[-hbar^22ml(4a^2m^2x^2hbar^2-2amhbarr)r] = Psil(-2a^2m,x^2 + hbar,ar) . Como
temos
  1. Agora aplicamos produto na derivada de :
Substituindo e a derivada de que é ,
Multiplicando pelo operador cinético ,

Passo 4

Agora encaixamos tudo na equação de Schrödinger:
ihbar,partialPsipartial t ;=; l(-hbar^22m,partial^2partial x^2 + V(x)r)Psi
No lado esquerdo temos hbar,a = -2a^2m,x^2 + hbar,a + V(x) . No lado direito deu 0 = -2a^2m,x^2 + V(x) Longrightarrow V(x)=2a^2m,x^2 .
Então
Cancelamos dos dois lados e sobra

Resposta

O potencial que faz boxedV(x)=2,a^2,m,x^2 ser solução é

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