(2,0 pontos) Verifique se a função
x(t)=t e^{-\frac{7}{2} t}
é solução da equação \ddot{x}+\eta \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=0 para \omega_{0}=\gamma / 2.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se
x(t)=t\,e^{-\tfrac{7}{2}t}
satisfaz a equação diferencial
\ddot{x}+\eta\,\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=0
sujeita à condição \omega_{0}=\gamma/2. Para isso vamos calcular \dot{x} e \ddot{x} e substituir na EDO.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada. Como x(t)=t\,e^{-at} com a=\tfrac{7}{2}, vale
\dot{x}(t) =\frac{d}{dt}\bigl(t\,e^{-at}\bigr) =e^{-at}-a\,t\,e^{-at} =e^{-\,\tfrac{7}{2}t}\Bigl(1-\tfrac{7}{2}t\Bigr).

Passo 3

Agora a segunda derivada:
\ddot{x}(t) =\frac{d}{dt}\!\Bigl[e^{-\,\tfrac{7}{2}t}(1-\tfrac{7}{2}t)\Bigr] =-\tfrac{7}{2}\,e^{-\,\tfrac{7}{2}t}(1-\tfrac{7}{2}t) +e^{-\,\tfrac{7}{2}t}\bigl(-\tfrac{7}{2}\bigr) =e^{-\,\tfrac{7}{2}t}\Bigl(\tfrac{49}{4}t-7\Bigr).

Passo 4

Substituindo na EDO:
\ddot{x}+\eta\,\dot{x}+\omega_{0}^{2}x =e^{-\,\tfrac{7}{2}t}\Bigl(\tfrac{49}{4}t-7\Bigr) +\eta\,e^{-\,\tfrac{7}{2}t}\Bigl(1-\tfrac{7}{2}t\Bigr) +\omega_{0}^{2}\,t\,e^{-\,\tfrac{7}{2}t}.
Fatorando e^{-\,\tfrac{7}{2}t} obtemos
e^{-\,\tfrac{7}{2}t}\Bigl[\bigl(\tfrac{49}{4}-\tfrac{7\eta}{2}+\omega_{0}^{2}\bigr)t+(\eta-7)\Bigr]=0.
Para anular isso em todo t, as duas quantidades entre colchetes devem ser nulas.

Passo 5

Igualando os coeficientes ao polinômio zero:
1. Constante: \eta-7=0 \Rightarrow \eta=7.
2. Coeficiente de t:
\tfrac{49}{4}-\tfrac{7\eta}{2}+\omega_{0}^{2}=0 \;\Longrightarrow\; \tfrac{49}{4}-\tfrac{49}{2}+\omega_{0}^{2}=0 \;\Longrightarrow\; \omega_{0}^{2}=\tfrac{49}{4} \;\Longrightarrow\; \omega_{0}=\tfrac{7}{2}.
Como \omega_{0}=\gamma/2, segue \gamma=7.

Resposta

Sim, x(t)=t\,e^{-\tfrac{7}{2}t} é solução de
\ddot{x}+\eta\,\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=0
se \eta=7 e \omega_{0}=\gamma/2=7/2 (isto é \gamma=7).

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