(2,0 pontos) Na forma complexa, a equação do oscilador amortecido forçado é dada por
\ddot{z}+\gamma \dot{z}+\omega_{0}^{2} z=\frac{F_{0}}{m} e^{i \omega t}
Mostre que z(t)=A e^{i \omega t} é solução da equação \operatorname{com} A=\frac{F_{0}}{m\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+i \omega n\right)}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação do oscilador amortecido forçado na forma complexa
\ddot z + \gamma\,\dot z + \omega_0^2\,z = \frac{F_0}{m}\,e^{i\omega t}
e pede para mostrar que uma solução particular pode ser escrita como
z(t) = A\,e^{i\omega t}
com
A = \frac{F_0}{m\bigl(\omega_0^2 - \omega^2 + i\,\omega\,n\bigr)}.
O conteúdo principal aqui é: usar o método de “ansatz” exponencial para equações lineares de coeficientes constantes, diferenciá-lo, inserir na equação e resolver a equação algébrica para A.

Passo 2

Assumimos
z(t) = A\,e^{i\omega t}.
Diferenciando em relação a t temos
\dot z(t) = i\omega\,A\,e^{i\omega t}, \quad \ddot z(t) = (i\omega)^2\,A\,e^{i\omega t} = -\omega^2\,A\,e^{i\omega t}.

Passo 3

Substituímos z, \dot z e \ddot z na equação original:
\bigl(-\omega^2\,A + \gamma\,(i\omega\,A) + \omega_0^2\,A\bigr)\,e^{i\omega t} = \frac{F_0}{m}\,e^{i\omega t}.
Como e^{i\omega t}\neq0, podemos cancelar esse fator em ambos os lados.

Passo 4

Obtemos a relação algébrica para A:
A\bigl(-\omega^2 + i\,\gamma\,\omega + \omega_0^2\bigr) = \frac{F_0}{m} \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{F_0}{m\bigl(\omega_0^2 - \omega^2 + i\,\gamma\,\omega\bigr)}.
Se no enunciado o coeficiente de amortecimento foi denotado por n em vez de \gamma, basta substituir \gamma por n.

Resposta

A = \frac{F_0}{m\bigl(\omega_0^2 - \omega^2 + i\,\omega\,n\bigr)}.

Exercícios relacionados