Demonstre o Teorema de Pitágoras expressando a área do quadrado maior como soma de outras áreas (via decomposição geométrica).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para a gente demonstrar o Teorema de Pitágoras mostrando que a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos outros dois quadrados, usando uma decomposição geométrica. Isso significa que vamos pegar um triângulo retângulo, construir quadrados sobre cada um dos seus lados e mostrar que a área do quadrado do lado maior (a hipotenusa) é igual à soma das áreas dos dois quadrados menores. Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria básica e como calcular áreas de quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar um triângulo retângulo, que é aquele que tem um ângulo de 90 graus. Vamos chamar os lados que formam esse ângulo de “a” e “b”, e o lado oposto ao ângulo de 90 graus (a hipotenusa) de “c”. Agora, vamos construir um quadrado sobre cada um desses lados. Assim, teremos três quadrados: um com lado “a”, outro com lado “b” e o maior com lado “c”.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as áreas desses quadrados. A área de um quadrado é dada pelo lado ao quadrado. Então, a área do quadrado sobre o lado “a” é
, a área sobre o lado “b” é
, e a área sobre a hipotenusa “c” é
.
Passo 4
A ideia da decomposição geométrica é rearranjar as áreas dos quadrados sobre “a” e “b” de uma forma que elas preencham exatamente o quadrado sobre “c”. Para isso, vamos cortar e reorganizar os quadrados menores.
Passo 5
Imagina que a gente corta os quadrados de área
e
em pedaços menores e os redistribui dentro do quadrado de área
. Visualmente, isso mostra que não sobra espaço nenhum e que as áreas se igualam. Esse rearranjo prova que
.
Passo 6
Portanto, ao decompor os quadrados menores e reorganizá-los dentro do quadrado maior, demonstramos que a área do quadrado sobre a hipotenusa é exatamente a soma das áreas dos quadrados sobre os outros dois lados.
Resposta
Assim, comprovamos que
, que é o Teorema de Pitágoras.