Demonstre o Teorema de Pitágoras expressando a área do quadrado maior como soma de outras áreas (via decomposição geométrica).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para a gente demonstrar o Teorema de Pitágoras mostrando que a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos outros dois quadrados, usando uma decomposição geométrica. Isso significa que vamos pegar um triângulo retângulo, construir quadrados sobre cada um dos seus lados e mostrar que a área do quadrado do lado maior (a hipotenusa) é igual à soma das áreas dos dois quadrados menores. Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria básica e como calcular áreas de quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar um triângulo retângulo, que é aquele que tem um ângulo de 90 graus. Vamos chamar os lados que formam esse ângulo de “a” e “b”, e o lado oposto ao ângulo de 90 graus (a hipotenusa) de “c”. Agora, vamos construir um quadrado sobre cada um desses lados. Assim, teremos três quadrados: um com lado “a”, outro com lado “b” e o maior com lado “c”.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as áreas desses quadrados. A área de um quadrado é dada pelo lado ao quadrado. Então, a área do quadrado sobre o lado “a” é a^2, a área sobre o lado “b” é b^2, e a área sobre a hipotenusa “c” é c^2.

Passo 4

A ideia da decomposição geométrica é rearranjar as áreas dos quadrados sobre “a” e “b” de uma forma que elas preencham exatamente o quadrado sobre “c”. Para isso, vamos cortar e reorganizar os quadrados menores.

Passo 5

Imagina que a gente corta os quadrados de área a^2 e b^2 em pedaços menores e os redistribui dentro do quadrado de área c^2. Visualmente, isso mostra que não sobra espaço nenhum e que as áreas se igualam. Esse rearranjo prova que c^2 = a^2 + b^2.

Passo 6

Portanto, ao decompor os quadrados menores e reorganizá-los dentro do quadrado maior, demonstramos que a área do quadrado sobre a hipotenusa é exatamente a soma das áreas dos quadrados sobre os outros dois lados.

Resposta

Assim, comprovamos que c^2 = a^2 + b^2, que é o Teorema de Pitágoras.

Exercícios relacionados