Mostre que todo polígono regular é inscritível e circunscritível. As respectivas circunferências são concêntricas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um polígono regular (isto é, um polígono de n lados com todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes) é ao mesmo tempo inscritível (existe uma circunferência que passa por todos os vértices) e circunscritível (existe uma circunferência que tangencia todos os lados), e que essas duas circunferências têm o mesmo centro. Vamos usar simetria e propriedades básicas de polígonos regulares para concluir isso.

Passo 2

Como o polígono é regular, todos os lados têm o mesmo comprimento. Em consequência, cada mediatriz de um lado é também um eixo de simetria do polígono: refletir todo o polígono sobre a mediatriz de qualquer lado o deixa inalterado. Então todas as mediatrizes coincidem num único ponto O. Esse ponto O é equidistante de todos os vértices, pois é ponto de interseção das mediatrizes, e isso significa exatamente que existe uma circunferência de centro O que passa por todos os vértices. Portanto o polígono é inscritível, e chamamos essa circunferência de circunferência circunscrita (ou circunferência dos vértices).

Passo 3

De modo análogo, como todos os ângulos internos são congruentes, cada bissetriz interna de um ângulo é também um eixo de simetria. Logo todas as bissetrizes internas se encontram em um único ponto I. Esse ponto I é equidistante de todas as retas que contêm os lados do polígono, porque qualquer bissetriz interna é locus dos pontos equidistantes dos lados que formam o ângulo. Assim existe uma circunferência de centro I que tangencia cada lado do polígono. O polígono é portanto circunscritível, e essa circunferência é chamada de incírculo.

Passo 4

Num polígono regular o centro de simetria é único: todo eixo de simetria passa sempre pelo mesmo ponto. Deste modo, como as mediatrizes (eixos que produzimos em) passam por O e as bissetrizes (eixos que produzimos em) passam por I, concluímos que O=I. Portanto as duas circunferências têm o mesmo centro.

Resposta

Todo polígono regular é inscritível e circunscritível, e os centros das circunferências inscrita e circunscrita coincidem.

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