Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita, tais que dim(V)=dim(W), e T : V W uma transformação linear. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes
(a) T é bijetora.
(b) T é injetora.
(c) T é sobrejetora.
Dica: Use o teorema do núcleo-imagem e a questão 2.

Passo 1

O enunciado diz que V e W são espaços vetoriais de dimensão finita com
dim(V)=dim(W),
e que Tcolon Vto W é linear. Queremos mostrar que as três propriedades abaixo são equivalentes:
(a) T é bijetora,
(b) T é injetora,
(c) T é sobrejetora.
Usaremos o Teorema Núcleo–Imagem (rank–nullity)
dim(V)=diml(ker(T)r)+diml(im(T)r),
e o fato de que, se um subespaço de dimensão igual ao do espaço em que vive, então coincide com esse espaço.

Passo 2

Suponha que T seja injetora, ou seja,
ker(T)=0Longrightarrow diml(ker(T)r)=0
Pela fórmula Núcleo–Imagem,
diml(im(T)r) =dim(V)-diml(ker(T)r) =dim(V)-0 =dim(V)
Como im(T) é um subespaço de W e diml(im(T)r)=dim(V)=dim(W), segue que
im(T)=W,
isto é, T é sobrejetora.

Passo 3

Agora suponha que T seja sobrejetora, ou seja,
im(T)=WLongrightarrow diml(im(T)r)=dim(W)
Pela fórmula Núcleo–Imagem,
diml(ker(T)r) =dim(V)-diml(im(T)r) =dim(V)-dim(W) =0,
pois dim(V)=dim(W). Logo ker(T)=0, o que significa que T é injetora.

Passo 4

Concluímos que
injetora;Longrightarrow;sobrejetora e sobrejetora;Longrightarrow;injetora
Assim injetividade e sobrejetividade são equivalentes, e cada uma delas implica bijetividade (pois bijetora = injetora + sobrejetora). Portanto as três afirmações são equivalentes.

Resposta

As afirmações (a), (b) e (c) são equivalentes.

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