Sejam
e
espaços vetoriais de dimensão finita, tais que
, e
:
uma transformação linear. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes
(a)
é bijetora.
(b)
é injetora.
(c)
é sobrejetora.
Dica: Use o teorema do núcleo-imagem e a questão 2.
(a)
(b)
(c)
Dica: Use o teorema do núcleo-imagem e a questão 2.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são espaços vetoriais de dimensão finita com
e que
é linear. Queremos mostrar que as três propriedades abaixo são equivalentes:
(a) é bijetora,
(b) é injetora,
(c) é sobrejetora.
Usaremos o Teorema Núcleo–Imagem (rank–nullity)
(a)
(b)
(c)
Usaremos o Teorema Núcleo–Imagem (rank–nullity)
e o fato de que, se um subespaço de dimensão igual ao do espaço em que vive, então coincide com esse espaço.
Passo 2
Suponha que
seja injetora, ou seja,
Pela fórmula Núcleo–Imagem,
Como
é um subespaço de
e
, segue que
isto é,
é sobrejetora.
Passo 3
Agora suponha que
seja sobrejetora, ou seja,
Pela fórmula Núcleo–Imagem,
pois
. Logo
, o que significa que
é injetora.
Passo 4
Concluímos que
Assim injetividade e sobrejetividade são equivalentes, e cada uma delas implica bijetividade (pois bijetora
injetora
sobrejetora). Portanto as três afirmações são equivalentes.
Resposta
As afirmações (a), (b) e (c) são equivalentes.