Demonstre o teorema a seguir enunciado em aula:
\text { Se } \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=0 \text {, então } \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 \text {. }ã
DICA: Use o teorema do confronto.

Passo 1

O enunciado afirma que, para uma sequência real (a_n), se \displaystyle \lim_{n\to\infty}\bigl|a_n\bigr|=0,
então devemos provar que \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0.
O conteúdo usado será o Teorema do Confronto para sequências.

Passo 2

Para todo n vale a desigualdade entre um número e seu valor absoluto:
-|a_n|\;\le\;a_n\;\le\;|a_n|.

Passo 3

Como \displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=0, então pela propriedade de limites multiplicados por constante temos
\lim_{n\to\infty}\bigl(-|a_n|\bigr) =-\lim_{n\to\infty}|a_n| =-0 =0,
e também \displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=0.

Passo 4

Aplicando o Teorema do Confronto com as sequências \bigl(-|a_n|\bigr), (a_n) e (|a_n|), todas satisfazendo \,-|a_n|\le a_n\le |a_n|\,
e tendo limites iguais a 0 nas extremidades, obtemos
\lim_{n\to\infty}a_n=0.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = 0.

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