\text { Se } \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=0 \text {, então } \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 \text {. }
DICA: Use o teorema do confronto.
Passo 1
O enunciado afirma que, para uma sequência real (a_n), se \displaystyle \lim_{n\to\infty}\bigl|a_n\bigr|=0,
então devemos provar que \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0.
O conteúdo usado será o Teorema do Confronto para sequências.
Passo 2
Para todo n vale a desigualdade entre um número e seu valor absoluto:
-|a_n|\;\le\;a_n\;\le\;|a_n|.
Passo 3
Como \displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=0, então pela propriedade de limites multiplicados por constante temos
Aplicando o Teorema do Confronto com as sequências \bigl(-|a_n|\bigr), (a_n) e (|a_n|), todas satisfazendo \,-|a_n|\le a_n\le |a_n|\,
e tendo limites iguais a 0 nas extremidades, obtemos