Esboce a curva definida pela função vetorial
\vec{r}(t).
\vec{r}(t)=(5 \cos (t), 5 \operatorname{sen}(t), 5)

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial \vec{r}(t) = (5\cos(t),\,5\sin(t),\,5)
e pede para esboçar a curva em \mathbb{R}^3. O conteúdo é interpretação geométrica de curvas paramétricas: identificar a forma da projeção no plano xy e a variação em z.

Passo 2

Analisamos a projeção no plano xy. Como
x(t) = 5\cos(t),\quad y(t) = 5\sin(t),
isso satisfaz
x(t)^2 + y(t)^2 = (5\cos t)^2 + (5\sin t)^2 = 25(\cos^2 t + \sin^2 t) = 25.
Logo, a projeção é um círculo de raio 5 centrado na origem do plano xy.

Passo 3

Observamos a coordenada z(t). Aqui
z(t) = 5
para todo t. Isso significa que toda a curva está contida no plano horizontal definido por z=5.

Passo 4

Combinando as duas informações, concluímos que a curva é o círculo
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 = 25,\;z=5\},
isto é, um círculo de raio 5 no plano paralelo ao xy a uma altura z=5.
A orientação é contrária ao relógio (sentido anti-horário) quando visto de cima, pois t cresce e a parametrização é (\cos t,\sin t).

Resposta

A curva é um círculo de raio 5 centrado em (0,0,5), contido no plano z=5, orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.

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