Esboce a curva definida pela função vetorial
\vec{r}(t).
\vec{r}(t)=\left(3, t, 2-t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce a curva de espaço definida pela função vetorial \vec{r}(t) = \bigl(3,\;t,\;2 - t^{2}\bigr).
O conteúdo aqui é estudo de curvas paramétricas em \mathbb{R}^{3} e vamos precisar identificar as equações paramétricas, eliminar o parâmetro e reconhecer a forma geométrica.

Passo 2

Escrevendo as coordenadas em função de t, temos
x(t) = 3,\quad y(t) = t,\quad z(t) = 2 - t^{2}.
Observe que x é constante e igual a 3, ou seja, toda a curva está contida no plano vertical definido por x=3.

Passo 3

Para reconhecer a forma no plano x=3, basta eliminar o parâmetro t. Como y = t, substituímos em z:
z = 2 - y^{2}.
Isso mostra que, no plano x=3, a curva é dada por z = 2 - y^{2}.

Passo 4

A equação z = 2 - y^{2} é uma parábola no plano vertical x=3, que se abre para baixo com vértice em (y,z)=(0,2). Para esboçar:
  1. Desenhe um eixo x, y e z.
  2. Marque o plano paralelo ao plano yz passando por x=3.
  3. No corte desse plano, desenhe a parábola com vértice em (3,0,2) e ramos voltados para valores menores de z.

Resposta

A curva é uma parábola no plano x=3 cuja projeção no plano yz satisfaz
z = 2 - y^{2},
ou seja, vértice em (3,0,2) e ramos voltados para baixo.

Exercícios relacionados