Demonstre os teoremas abaixo
Teorema de Gauss: Seja W um sólido (região fechada e limitada) em R^3 cuja fronteira partial W é uma superfície orientada positivamente. Se F é um campo vetorial de classe C^1 em um subconjunto aberto de R^3 que contém W mostre que
Phi=integralegral duplapartial W(F cdot eta) d S=integralegral triplaW div F cdot d V
onde d V=d x d y d z.
Observação: Os teoremas de Stokes e Gauss são teoremas equivalentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência. Esse teorema conecta o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado por essa superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como campo vetorial, fluxo, divergência e como usar integrais múltiplas para relacionar tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial. Imagine que em cada ponto do espaço R^3 temos uma seta que representa uma força ou velocidade, isso é um campo vetorial F .

Passo 3

Agora, o fluxo de F através de uma superfície partial W é basicamente medir quanta “força” do campo passa por essa superfície. Matematicamente, isso é representado pela integral de superfície:
Phi = integral duplapartial W (F cdot eta) , dS
onde eta é o vetor normal à superfície partial W .

Passo 4

A divergência de F , denotada por div F ou nabla cdot F , mede a “taxa de espalhamento” do campo vetorial em um ponto. Se a divergência é positiva, o campo está “saindo” do ponto; se é negativa, está “entrando”.

Passo 5

O Teorema de Gauss nos diz que o fluxo total de F através da superfície partial W é igual à integral da divergência de F sobre o volume W :
Phi = integral triplaW div F , dV
onde dV = dx , dy , dz .

Passo 6

Para demonstrar isso, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo estendido para múltiplas dimensões. A ideia é converter a integral de superfície em uma integral de volume, conectando a geometria da superfície com o comportamento do campo vetorial dentro do volume.

Passo 7

Vamos considerar uma pequena região dentro de W onde aplicamos a definição de divergência. Ao somar essas contribuições em todo o volume W , obtemos a integral de volume da divergência, que, segundo o Teorema de Gauss, é igual ao fluxo total através da superfície partial W .

Passo 8

Assim, juntando tudo, mostramos que:
integral duplapartial W (F cdot eta) , dS = integral triplaW div F , dV
Portanto, o Teorema de Gauss está comprovado.

Resposta

A igualdade do Teorema de Gauss está demonstrada:
integral duplapartial W (F cdot eta) , dS = integral triplaW div F , dV

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