Demonstre os teoremas abaixo
Teorema de Gauss: Seja
um sólido (região fechada e limitada) em
cuja fronteira
é uma superfície orientada positivamente. Se
é um campo vetorial de classe
em um subconjunto aberto de
que contém
mostre que
onde
.
Observação: Os teoremas de Stokes e Gauss são teoremas equivalentes.
Teorema de Gauss: Seja
Observação: Os teoremas de Stokes e Gauss são teoremas equivalentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência. Esse teorema conecta o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado por essa superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como campo vetorial, fluxo, divergência e como usar integrais múltiplas para relacionar tudo isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial. Imagine que em cada ponto do espaço
temos uma seta que representa uma força ou velocidade, isso é um campo vetorial
.
Passo 3
Agora, o fluxo de
através de uma superfície
é basicamente medir quanta “força” do campo passa por essa superfície. Matematicamente, isso é representado pela integral de superfície:
onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 4
A divergência de
, denotada por
ou
, mede a “taxa de espalhamento” do campo vetorial em um ponto. Se a divergência é positiva, o campo está “saindo” do ponto; se é negativa, está “entrando”.
Passo 5
O Teorema de Gauss nos diz que o fluxo total de
através da superfície
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
:
onde
.
Passo 6
Para demonstrar isso, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo estendido para múltiplas dimensões. A ideia é converter a integral de superfície em uma integral de volume, conectando a geometria da superfície com o comportamento do campo vetorial dentro do volume.
Passo 7
Vamos considerar uma pequena região dentro de
onde aplicamos a definição de divergência. Ao somar essas contribuições em todo o volume
, obtemos a integral de volume da divergência, que, segundo o Teorema de Gauss, é igual ao fluxo total através da superfície
.
Passo 8
Assim, juntando tudo, mostramos que:
Portanto, o Teorema de Gauss está comprovado.
Resposta
A igualdade do Teorema de Gauss está demonstrada: