Seja
um campo vetorial de classe
definido em
. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
, qualquer que seja a curva
por partes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial
que é de classe
em
. O exercício pede para mostrar que a integral de linha desse campo vetorial ao longo de qualquer curva fechada
, que seja suave (
) por partes, é igual a zero. Ou seja, queremos provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de campos conservativos, potenciais, e condições para que a integral de linha seja independente do caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral de linha de um campo vetorial ser zero para qualquer curva fechada. Isso está diretamente relacionado ao conceito de campo conservativo. Um campo vetorial
é chamado de conservativo se existe uma função escalar
tal que:
Aqui,
é o gradiente de
, que nos dá as componentes do campo vetorial. Se
é conservativo, então a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada é zero porque o potencial
retorna ao mesmo valor no início e no fim do percurso.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema de Stoke para relacionar a integral de linha com a integral de superfície. O Teorema de Stoke nos diz que:
Onde
é o rotacional de
. Se a integral de linha é zero para qualquer curva fechada
, então a integral da superfície do rotacional de
também deve ser zero para qualquer superfície
com borda
.
Passo 4
Se a integral da superfície do rotacional de
é zero para qualquer superfície, isso implica que o rotacional de
é zero em todo ponto do espaço. Ou seja:
Um campo vetorial com rotacional nulo em um domínio simplesmente conexo (como
) é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
.
Passo 5
Resumindo, mostramos que:
- Se
é conservativo ( ), então a integral de linha sobre qualquer curva fechada é zero:
- Se a integral de linha de
sobre qualquer curva fechada é zero, então o rotacional de é nulo:
E, consequentemente,
é conservativo.
Resposta
Portanto, mostramos que a integral de linha de
ao longo de qualquer curva fechada
é igual a zero se e somente se o rotacional de
é nulo em todo o espaço, ou seja,
. Assim: