Seja F(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) um campo vetorial de classe C^1 definido em R^3. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
ointC F cdot d r=0, qualquer que seja a curva C, C^1 por partes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) que é de classe C^1 em R^3 . O exercício pede para mostrar que a integral de linha desse campo vetorial ao longo de qualquer curva fechada C , que seja suave ( C^1 ) por partes, é igual a zero. Ou seja, queremos provar que:
ointC F cdot dr = 0
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de campos conservativos, potenciais, e condições para que a integral de linha seja independente do caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral de linha de um campo vetorial ser zero para qualquer curva fechada. Isso está diretamente relacionado ao conceito de campo conservativo. Um campo vetorial F é chamado de conservativo se existe uma função escalar phi(x, y, z) tal que:
F = nabla phi
Aqui, nabla phi é o gradiente de phi , que nos dá as componentes do campo vetorial. Se F é conservativo, então a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada é zero porque o potencial phi retorna ao mesmo valor no início e no fim do percurso.

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema de Stoke para relacionar a integral de linha com a integral de superfície. O Teorema de Stoke nos diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Onde nabla times F é o rotacional de F . Se a integral de linha é zero para qualquer curva fechada C , então a integral da superfície do rotacional de F também deve ser zero para qualquer superfície S com borda C .

Passo 4

Se a integral da superfície do rotacional de F é zero para qualquer superfície, isso implica que o rotacional de F é zero em todo ponto do espaço. Ou seja:
nabla times F = 0
Um campo vetorial com rotacional nulo em um domínio simplesmente conexo (como R^3 ) é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial phi tal que F = nabla phi .

Passo 5

Resumindo, mostramos que:
  1. Se F é conservativo ( F = nabla phi ), então a integral de linha sobre qualquer curva fechada é zero:
ointC F cdot dr = 0
  1. Se a integral de linha de F sobre qualquer curva fechada é zero, então o rotacional de F é nulo:
nabla times F = 0
E, consequentemente, F é conservativo.

Resposta

Portanto, mostramos que a integral de linha de F ao longo de qualquer curva fechada C é igual a zero se e somente se o rotacional de F é nulo em todo o espaço, ou seja, nabla times F = 0 . Assim:
ointC F cdot dr = 0

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