Resolva os sistemas de equações diferenciais lineares através do método dos operadores.
ld xd t-6 y=0 x-d yd t+z=0 x+y-d zd t=0.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
dxdt-6,y=0, x-dydt+z=0, x+y-dzdt=0,
e pede para resolver pelo método dos operadores diferenciais. Vamos tratar cada derivada como D, desmembrar o sistema numa única EDO para x(t) e depois voltar em y(t) e z(t).

Passo 2

Reescrevendo em termos de derivadas:
dxdt=6y, dydt=x+z, dzdt=x+y
Da primeira equação vem imediatamente
y=16,dxdt

Passo 3

Diferenciamos dxdt=6y uma vez a mais:
d^2xdt^2=6,dydt
Mas dydt=x+z, então
d^2xdt^2=6,(x+z)

Passo 4

Queremos eliminar z. Para isso, faça mais uma derivada em d^2xdt^2:
d^3xdt^3=6(dxdt+dzdt) =6(dxdt+(x+y)) =6,dxdt+6x+6y
Substituindo y=tfrac16dxdt fica
d^3xdt^3 =6,dxdt+6x+6cdot16,dxdt =7,dxdt+6x
Passando tudo para um lado:
d^3xdt^3-7,dxdt-6,x=0

Passo 5

A equação caracterísitca é
lambda^3-7lambda-6=0
Testando raízes inteiras, lambda=3 é raiz. Fazendo a divisão sintética obtemos
(lambda-3)(lambda^2+3lambda+2)=0 Longrightarrow lambdain3,,-1,,-2

Passo 6

Logo a solução geral para x(t) é
x(t)=A,e^3t+B,e^-t+C,e^-2t,
onde A, B e C são constantes arbitrárias.

Passo 7

Da relação y=tfrac16,x' temos
x'(t)=3A,e^3t-B,e^-t-2C,e^-2t,
então
y(t) =16,x'(t) =A2,e^3t-B6,e^-t-C3,e^-2t

Passo 8

Para z(t) usamos dydt=x+z, ou seja z=tfracdydt-x. Calculando
dydt =3A2,e^3t+B6,e^-t+2C3,e^-2t,
vem
z(t) =dydt-x =A2,e^3t-5B6,e^-t-C3,e^-2t

Resposta

x(t)=A,e^3t+B,e^-t+C,e^-2t,
y(t)=A2,e^3t-B6,e^-t-C3,e^-2t,
z(t)=A2,e^3t-5B6,e^-t-C3,e^-2t,
com A,B,C constantes determinadas pelas condições iniciais.

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