Demonstre os teoremas abaixo
Teorema de Stokes: Sejam
uma superfície orientada parametrizada por
. onde
é uma região fechada do plano
, limitada por uma curva
por partes, e
uma função de classe
em um subconjunto aberto de
conntendo
. Se
é um campo vetorial de classe
definido em subconjunto de
que contém
e cujo bordo
está orientado positivamente, mostre que
Teorema de Stokes: Sejam
Passo 1
Vamos resumir o que precisa ser feito. O exercício pede para demonstrar o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona uma integral de superfície de um campo vetorial com uma integral de linha ao redor da borda dessa superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como superfícies orientadas, campos vetoriais, rotacional de um campo vetorial e integrais de superfície e de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície orientada. Uma superfície orientada é aquela que tem uma direção definida para o vetor normal, que é perpendicular à superfície. Isso é importante porque a orientação afeta o sinal da integral de superfície.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a parametrização da superfície. A superfície
é dada pela função
, onde
estão em uma região
do plano
. Essa parametrização nos ajuda a descrever todos os pontos na superfície de forma organizada.
Passo 4
A borda da superfície
é a curva
. A integral de linha será calculada ao longo dessa curva
. É importante que
seja uma curva
, ou seja, que seja continuamente diferenciável, para garantir que a integral esteja bem definida.
Passo 5
Vamos definir o campo vetorial
. Ele é de classe
, o que significa que suas componentes são continuamente diferenciáveis. O rotacional de
, denotado por
, é um campo vetorial que mede a tendência de
de girar em torno de um ponto.
Passo 6
O objetivo é mostrar que a integral de superfície do rotacional de
sobre
é igual à integral de linha de
ao longo da borda
. Em termos matemáticos:
Onde
é o vetor normal à superfície orientada.
Passo 7
Para demonstrar isso, vamos usar a definição de rotacional e aplicar o teorema fundamental do cálculo para integrais de superfície e linha. Primeiro, calculamos o rotacional de
:
Passo 8
Em seguida, expressamos a integral de superfície
em termos dos parâmetros
e
. Usamos o vetor normal
dado pela derivada cruzada das derivadas parciais de
:
Passo 9
Calculamos a integral de superfície substituindo
e
na expressão:
Passo 10
Para a integral de linha
, parametrizamos a curva
usando um parâmetro
. Se
, então
.
Passo 11
Calculamos a integral de linha substituindo
e
:
Passo 12
Finalmente, usando o teorema de Stokes, igualamos as duas integrais:
Isso mostra que a integral de superfície do rotacional de
sobre
é igual à integral de linha de
ao longo da borda
, conforme o teorema de Stokes.
Resposta
Demonstrado que
, conforme o Teorema de Stokes.