Demonstre os teoremas abaixo
Teorema de Stokes: Sejam S uma superfície orientada parametrizada por varphi(u, v),(u, v) in D. onde D é uma região fechada do plano uv, limitada por uma curva C^1 por partes, e varphi uma função de classe C^2 em um subconjunto aberto de R^2 conntendo D. Se F=(P, Q, R) é um campo vetorial de classe C^1 definido em subconjunto de R^3 que contém S e cujo bordo partial S está orientado positivamente, mostre que
integralegral duplaS(rot F cdot eta) d S=integralpartial S F cdot d r

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito. O exercício pede para demonstrar o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona uma integral de superfície de um campo vetorial com uma integral de linha ao redor da borda dessa superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como superfícies orientadas, campos vetoriais, rotacional de um campo vetorial e integrais de superfície e de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície orientada. Uma superfície orientada é aquela que tem uma direção definida para o vetor normal, que é perpendicular à superfície. Isso é importante porque a orientação afeta o sinal da integral de superfície.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a parametrização da superfície. A superfície S é dada pela função varphi(u, v) , onde (u, v) estão em uma região D do plano uv . Essa parametrização nos ajuda a descrever todos os pontos na superfície de forma organizada.

Passo 4

A borda da superfície S é a curva C . A integral de linha será calculada ao longo dessa curva C . É importante que C seja uma curva C^1 , ou seja, que seja continuamente diferenciável, para garantir que a integral esteja bem definida.

Passo 5

Vamos definir o campo vetorial F = (P, Q, R) . Ele é de classe C^1 , o que significa que suas componentes são continuamente diferenciáveis. O rotacional de F , denotado por rot F , é um campo vetorial que mede a tendência de F de girar em torno de um ponto.

Passo 6

O objetivo é mostrar que a integral de superfície do rotacional de F sobre S é igual à integral de linha de F ao longo da borda partial S . Em termos matemáticos:
integral duplaS (rot F cdot eta) , dS = integralpartial S F cdot dr
Onde eta é o vetor normal à superfície orientada.

Passo 7

Para demonstrar isso, vamos usar a definição de rotacional e aplicar o teorema fundamental do cálculo para integrais de superfície e linha. Primeiro, calculamos o rotacional de F :
rot F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y )

Passo 8

Em seguida, expressamos a integral de superfície integral duplaS (rot F cdot eta) , dS em termos dos parâmetros u e v . Usamos o vetor normal eta dado pela derivada cruzada das derivadas parciais de varphi :
eta = partial varphipartial u times partial varphipartial v

Passo 9

Calculamos a integral de superfície substituindo rot F e eta na expressão:
integral duplaD ( rot F cdot ( partial varphipartial u times partial varphipartial v ) ) du , dv

Passo 10

Para a integral de linha integralpartial S F cdot dr , parametrizamos a curva C usando um parâmetro t . Se r(t) = varphi(u(t), v(t)) , então dr = dvarphidt dt .

Passo 11

Calculamos a integral de linha substituindo F e dr :
integrala^b F(r(t)) cdot drdt dt

Passo 12

Finalmente, usando o teorema de Stokes, igualamos as duas integrais:
integral duplaS (rot F cdot eta) , dS = integralpartial S F cdot dr
Isso mostra que a integral de superfície do rotacional de F sobre S é igual à integral de linha de F ao longo da borda partial S , conforme o teorema de Stokes.

Resposta

Demonstrado que integral duplaS (rot F cdot eta) , dS = integralpartial S F cdot dr , conforme o Teorema de Stokes.

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