Resolva os sistemas de equações diferenciais lineares através do método dos operadores.
lD x=y D y=z D z=x.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo com coeficientes constantes
D x = y, D y = z, D z = x,
onde D=ddt.
O conteúdo é resolução de sistemas pelo “método dos operadores”: transformamos o sistema numa única equação para x usando D como se fosse uma variável, resolvemos o polinômio característico e depois recuperamos y e z.

Passo 2

Aplicamos sucessivamente D à primeira equação D x=y. Como D y=z e D z=x, temos
D^2 x = D y = z,
D^3 x = D z = x
Portanto x satisfaz a equação diferencial
D^3 x - x = 0

Passo 3

O polinômio característico dessa equação é
r^3 - 1 = 0
Suas raízes são
r1 = 1, r2,3 = e^pm 2pi i/3 = -tfrac12 pm i,tfracraiz32
Logo a solução geral complexa de x é
x(t)=A,e^t+B,e^(-12 + iraiz32)t+C,e^(-12 - iraiz32)t

Passo 4

Para termos constantes reais, escrevemos a parte oscilatória em termos de cosseno e seno. Definindo constantes reais C1,C2,C3, obtemos
x(t)=C1,e^t+e^-t/2l(C2cosl(tfracraiz32tr)+C3sinl(tfracraiz32tr)r)

Passo 5

Usamos y = D x e z = D^2 x. Calculando a derivada de x(t):
y(t)=x'(t) =C1,e^t +e^-t/2l(-tfrac12C2cos!tfracraiz32t-tfracraiz32C2sin!tfracraiz32t -tfrac12C3sin!tfracraiz32t+tfracraiz32C3cos!tfracraiz32tr),
z(t)=x''(t) =C1,e^t +e^-t/2l(tfrac14C2cos!tfracraiz32t -raiz3,C3sin!tfracraiz32t +tfrac14C3sin!tfracraiz32t +raiz3,C2sin!tfracraiz32tr),
podendo também reorganizar em senos e cossenos se desejar.

Resposta

x(t)=C1,e^t+e^-t/2l(C2cosl(tfracraiz32tr)+C3sinl(tfracraiz32tr)r),
y(t)=x'(t),
z(t)=x''(t),
com C1,C2,C3 constantes arbitrárias.

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