Prove os seguintes critérios de divisibilidade:
(a) Critério de divisibilidade por 3:
Um inteiro positivo n é divisível por 3 se , e somente se, a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Passo 1

O enunciado pede para provar o seguinte critério de divisibilidade: “Um inteiro positivo n é divisível por 3 se, e somente se, a soma de seus algarismos é divisível por 3.”
Informações dadas (claras no enunciado):
  • Temos um inteiro positivo n.
  • Queremos relacionar a propriedade "divisível por 3" de n com a propriedade "soma dos algarismos divisível por 3".
    Não há mais dados; o objetivo é demonstrar a equivalência lógica entre as duas propriedades.

Passo 2

Vamos escrever n na sua forma decimal (representação por algarismos). Se os algarismos de n são, da direita para a esquerda, a_0,a_1,\dots,a_k (cada a_i é um inteiro entre 0 e 9), então
n = a_0 + a_1\cdot 10 + a_2\cdot 10^2 + \cdots + a_k\cdot 10^k.
Aqui expliquei o que é cada símbolo: a_i é o algarismo na posição i (posição 0 é a unidade, 1 é a dezena, etc.), e 10^i significa 10 elevado à potência i.

Passo 3

Vou apresentar um conceito básico que usamos na prova: congruência módulo 3. Dizemos que dois inteiros x e y são congruentes módulo 3, escrito x\equiv y\pmod{3}, quando x-y é divisível por 3. Propriedades úteis de congruência que vamos usar (sem provas longas, só a ideia):
  • Se x\equiv y\pmod{3} e u\equiv v\pmod{3}, então x+u\equiv y+v\pmod{3}.
  • Se x\equiv y\pmod{3} e u é qualquer inteiro, então xu\equiv yu\pmod{3}.
    Essas propriedades dizem que somas e produtos respeitam congruências; na prática nos permitem reduzir fatores conhecidos antes de somar.

Passo 4

Agora note uma observação simples sobre 10 módulo 3. Como 10-1=9 e 9 é divisível por 3, temos
10\equiv 1\pmod{3}.
Usando a propriedade das potências em congruências, isso implica que, para todo i\ge 0,
10^i \equiv 1^i \pmod{3},
ou seja
10^i \equiv 1 \pmod{3}.
Em palavras: todas as potências de 10 deixam resto 1 quando divididas por 3.

Passo 5

Voltemos à expressão decimal de n. Aplicando congruência módulo 3 e substituindo 10^i\equiv 1\pmod{3}, obtemos
\begin{aligned} n &= a_0 + a_1\cdot 10 + a_2\cdot 10^2 + \cdots + a_k\cdot 10^k \\\ &\equiv a_0 + a_1\cdot 1 + a_2\cdot 1 + \cdots + a_k\cdot 1 \pmod{3} \\\ &\equiv a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_k \pmod{3}. \end{aligned}
Isto mostra que n e a soma dos seus algarismos têm o mesmo resto na divisão por 3. Em notação curta:
n \equiv \sum_{i=0}^k a_i \pmod{3}.

Passo 6

A conclusão direta da congruência anterior é a equivalência que queremos provar. De fato:
  • Se n é divisível por 3, então n\equiv 0\pmod{3}. Pela congruência n\equiv \sum a_i\pmod{3}, segue \sum a_i\equiv 0\pmod{3}, ou seja, a soma dos algarismos é divisível por 3.
  • Reciprocamente, se a soma dos algarismos é divisível por 3, isto é \sum a_i\equiv 0\pmod{3}, então pela mesma congruência n\equiv 0\pmod{3}, logo n é divisível por 3.
    Portanto, " n divisível por 3 " é equivalente a "soma dos algarismos de n divisível por 3".

Passo 7

Exemplo prático para fixar a ideia: tomo n=472. Os algarismos são a_2=4, a_1=7, a_0=2. Soma dos algarismos: 4+7+2=13. Como 13 não é divisível por 3 (resto 1), então 472 também não é divisível por 3. De fato, 472\div 3 = 157 com resto 1. Outro exemplo: n=381. Soma 3+8+1=12, que é divisível por 3, portanto 381 é divisível por 3 (381 = 3·127).

Passo 8

Resumo didático curto: a razão de tudo é que, na base decimal, cada casa vale uma potência de 10 e todas as potências de 10 deixam resto 1 ao dividir por 3. Assim cada algarismo contribui para o resto de n exatamente com seu próprio valor, e por isso basta somar os algarismos para testar divisibilidade por 3. Força aí — esse é um truque simples e que cai bastante na prova!

Resposta

Um inteiro positivo n é divisível por 3 se, e somente se, a soma dos seus algarismos é divisível por 3.

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