Prove os seguintes critérios de divisibilidade:
(a) Critério de divisibilidade por 3:
Um inteiro positivo
é divisível por 3 se , e somente se, a soma de seus algarismos é divisível por 3.
(a) Critério de divisibilidade por 3:
Passo 1
O enunciado pede para provar o seguinte critério de divisibilidade: “Um inteiro positivo
é divisível por
se, e somente se, a soma de seus algarismos é divisível por
.”
Informações dadas (claras no enunciado):
Informações dadas (claras no enunciado):
- Temos um inteiro positivo
. - Queremos relacionar a propriedade "divisível por
" de com a propriedade "soma dos algarismos divisível por ".
Não há mais dados; o objetivo é demonstrar a equivalência lógica entre as duas propriedades.
Passo 2
Vamos escrever
na sua forma decimal (representação por algarismos). Se os algarismos de
são, da direita para a esquerda,
(cada
é um inteiro entre
e
), então
Aqui expliquei o que é cada símbolo:
é o algarismo na posição
(posição
é a unidade,
é a dezena, etc.), e
significa
elevado à potência
.
Passo 3
Vou apresentar um conceito básico que usamos na prova: congruência módulo
. Dizemos que dois inteiros
e
são congruentes módulo
, escrito
, quando
é divisível por
. Propriedades úteis de congruência que vamos usar (sem provas longas, só a ideia):
- Se
e , então . - Se
e é qualquer inteiro, então .
Essas propriedades dizem que somas e produtos respeitam congruências; na prática nos permitem reduzir fatores conhecidos antes de somar.
Passo 4
Agora note uma observação simples sobre
módulo
. Como
e
é divisível por
, temos
Usando a propriedade das potências em congruências, isso implica que, para todo
,
ou seja
Em palavras: todas as potências de
deixam resto
quando divididas por
.
Passo 5
Voltemos à expressão decimal de
. Aplicando congruência módulo
e substituindo
, obtemos
Isto mostra que
e a soma dos seus algarismos têm o mesmo resto na divisão por
. Em notação curta:
Passo 6
A conclusão direta da congruência anterior é a equivalência que queremos provar. De fato:
- Se
é divisível por , então . Pela congruência , segue , ou seja, a soma dos algarismos é divisível por . - Reciprocamente, se a soma dos algarismos é divisível por
, isto é , então pela mesma congruência , logo é divisível por .
Portanto, "divisível por " é equivalente a "soma dos algarismos de divisível por ".
Passo 7
Exemplo prático para fixar a ideia: tomo
. Os algarismos são
,
,
. Soma dos algarismos:
. Como
não é divisível por
(resto
), então
também não é divisível por
. De fato,
com resto
. Outro exemplo:
. Soma
, que é divisível por
, portanto
é divisível por
(381 = 3·127).
Passo 8
Resumo didático curto: a razão de tudo é que, na base decimal, cada casa vale uma potência de
e todas as potências de
deixam resto
ao dividir por
. Assim cada algarismo contribui para o resto de
exatamente com seu próprio valor, e por isso basta somar os algarismos para testar divisibilidade por
. Força aí — esse é um truque simples e que cai bastante na prova!
Resposta
Um inteiro positivo
é divisível por
se, e somente se, a soma dos seus algarismos é divisível por
.