Prove os seguintes critérios de divisibilidade:
(d) Critério de divisibilidade por 11:
Um inteiro positivo
é divisível por 11 se, e somente se, a soma alternada
dos seus algarismos,
, é divisível por 11 .
(Sugestão: Mostre por indução que, para todo
, onde
é um inteiro.)
(d) Critério de divisibilidade por 11:
(Sugestão: Mostre por indução que, para todo
Passo 1
O enunciado dá um inteiro positivo
escrito pelos seus algarismos como
(ou seja,
é o algarismo das unidades,
das dezenas, etc.). Define-se a soma alternada dos algarismos
A pergunta é: provar que
é divisível por
se, e somente se,
é divisível por
. O enunciado sugere mostrar, por indução em
, a identidade
onde
é um inteiro. Não se resolve nada neste passo; apenas listamos o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Vou provar a identidade sugerida por indução em
. Primeiro explico a ideia da indução: provaremos um caso base (para
) e depois mostraremos que, se a identidade vale para um certo
, então vale para
. Isso garante que vale para todo
.
Caso base (
): calculemos
. Temos
Note que
, isto é,
Portanto a identidade vale para
com
.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que, para algum
, exista inteiro
tal que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora reescrevemos
de forma conveniente. Observando que
, temos
porque o lado direito é
. Substituindo na expressão para
,
Agrupando os termos múltiplos de
,
Logo a identidade vale para
com
que é inteiro se
é inteiro. Assim por indução a identidade
vale para todo
, com cada
.
Passo 4
Agora uso essa identidade para ligar
e
. Escrevendo
em base decimal,
Substituindo
em cada termo, obtemos
Mas a segunda soma é exatamente
, pois
. Portanto chegamos à decomposição
onde
é um inteiro (soma de inteiros).
Passo 5
Da decomposição
segue imediatamente a equivalência desejada. Mostro com palavras claras:
-
Se
é divisível por , então . Na igualdade isso força , isto é, é múltiplo de . -
Reciprocamente, se
é múltiplo de , isto é para algum inteiro , então é múltiplo de .
Essas duas implicações mostram que
é divisível por
se, e somente se,
é divisível por
. Em linguagem de congruências, da igualdade
temos
logo
.
Passo 6
Para fixar a ideia, um mini-exemplo prático:
. Aqui
,
,
. Calculamos
, que é divisível por
, e de fato
. Outro exemplo:
,
não é múltiplo de
, então
não é divisível por
.
Resposta
O inteiro
é divisível por
se, e somente se, a soma alternada
é divisível por
.