Prove os seguintes critérios de divisibilidade:
(d) Critério de divisibilidade por 11:
Um inteiro positivo n=a_{m} a_{m-1} \ldots a_{2} a_{1} a_{0} é divisível por 11 se, e somente se, a soma alternada T dos seus algarismos, T=a_{0}-a_{1}+a_{2}-\ldots+(-1)^{m} a_{m}, é divisível por 11 .
(Sugestão: Mostre por indução que, para todo j \geqslant 1,10^{j}=11 c_{j}+(-1)^{j}, onde c_{j} é um inteiro.)

Passo 1

O enunciado dá um inteiro positivo n escrito pelos seus algarismos como n=a_{m}a_{m-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0} (ou seja, a_{0} é o algarismo das unidades, a_{1} das dezenas, etc.). Define-se a soma alternada dos algarismos
T=a_{0}-a_{1}+a_{2}-\cdots+(-1)^{m}a_{m}.
A pergunta é: provar que n é divisível por 11 se, e somente se, T é divisível por 11. O enunciado sugere mostrar, por indução em j\ge 1, a identidade
10^{j}=11c_{j}+(-1)^{j},
onde c_{j} é um inteiro. Não se resolve nada neste passo; apenas listamos o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Vou provar a identidade sugerida por indução em j. Primeiro explico a ideia da indução: provaremos um caso base (para j=1) e depois mostraremos que, se a identidade vale para um certo j, então vale para j+1. Isso garante que vale para todo j\ge1.
Caso base ( j=1): calculemos 10^{1}. Temos
10^{1}=10.
Note que 10=11\cdot 1 + (-1), isto é,
10=11\cdot 1 + (-1)^{1}.
Portanto a identidade vale para j=1 com c_{1}=1.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que, para algum j\ge 1, exista inteiro c_{j} tal que
10^{j}=11c_{j}+(-1)^{j}.
Multiplicando ambos os lados por 10 obtemos
10^{j+1}=11\bigl(10c_{j}\bigr)+10(-1)^{j}.
Agora reescrevemos 10(-1)^{j} de forma conveniente. Observando que (-1)^{j+1}=-(-1)^{j}, temos
10(-1)^{j}=11(-1)^{j}+(-1)^{j+1},
porque o lado direito é 11(-1)^{j}-(-1)^{j}=10(-1)^{j}. Substituindo na expressão para 10^{j+1},
10^{j+1}=11\bigl(10c_{j}\bigr)+11(-1)^{j}+(-1)^{j+1}.
Agrupando os termos múltiplos de 11,
10^{j+1}=11\bigl(10c_{j}+(-1)^{j}\bigr)+(-1)^{j+1}.
Logo a identidade vale para j+1 com
c_{j+1}=10c_{j}+(-1)^{j},
que é inteiro se c_{j} é inteiro. Assim por indução a identidade
10^{j}=11c_{j}+(-1)^{j}
vale para todo j\ge 1, com cada c_{j}\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Agora uso essa identidade para ligar n e T. Escrevendo n em base decimal,
n=\sum_{k=0}^{m} a_{k}10^{k}.
Substituindo 10^{k}=11c_{k}+(-1)^{k} em cada termo, obtemos
n=\sum_{k=0}^{m} a_{k}\bigl(11c_{k}+(-1)^{k}\bigr) =11\sum_{k=0}^{m} a_{k}c_{k}+\sum_{k=0}^{m} a_{k}(-1)^{k}.
Mas a segunda soma é exatamente T, pois T=a_{0}-a_{1}+a_{2}-\cdots+(-1)^{m}a_{m}=\sum_{k=0}^{m} a_{k}(-1)^{k}. Portanto chegamos à decomposição
n=11Q+T,
onde Q=\sum_{k=0}^{m} a_{k}c_{k} é um inteiro (soma de inteiros).

Passo 5

Da decomposição n=11Q+T segue imediatamente a equivalência desejada. Mostro com palavras claras:
  • Se n é divisível por 11, então n=11\cdot(\text{algo}). Na igualdade n=11Q+T isso força T=0\pmod{11}, isto é, T é múltiplo de 11.
  • Reciprocamente, se T é múltiplo de 11, isto é T=11k para algum inteiro k, então n=11Q+11k=11(Q+k) é múltiplo de 11.
Essas duas implicações mostram que n é divisível por 11 se, e somente se, T é divisível por 11. Em linguagem de congruências, da igualdade n=11Q+T temos
n\equiv T\pmod{11},
logo n\equiv 0\pmod{11}\iff T\equiv 0\pmod{11}.

Passo 6

Para fixar a ideia, um mini-exemplo prático: n=352. Aqui a_{0}=2, a_{1}=5, a_{2}=3. Calculamos T=2-5+3=0, que é divisível por 11, e de fato 352=11\cdot 32. Outro exemplo: n=1234, T=4-3+2-1=2 não é múltiplo de 11, então 1234 não é divisível por 11.

Resposta

O inteiro n é divisível por 11 se, e somente se, a soma alternada T=a_{0}-a_{1}+a_{2}-\cdots+(-1)^{m}a_{m} é divisível por 11.

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