Demonstre a transformada de laplace de
, por meio de EDO e não pela tabela de transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função
usando uma equação diferencial ordinária (EDO), sem usar a tabela de transformadas de Laplace. Para isso, vamos utilizar algumas propriedades básicas da transformada de Laplace e trabalhar passo a passo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, a transformada de Laplace converte uma função do domínio do tempo
para o domínio da frequência
. A gente representa a transformada de Laplace de
por
:
Nosso objetivo é encontrar
para a função
.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação
:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, precisamos saber como transformar
e
. Vamos começar com
.
Sabemos que:
Então, multiplicando por
:
Passo 5
Em seguida, vamos transformar
. A transformada de Laplace de
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 6
Agora, substituímos esses resultados de volta na expressão para
:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: