Demonstre a transformada de laplace de f(t)=k t-sen(k t), por meio de EDO e não pela tabela de transformada de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função f(t) = k t - sin(k t) usando uma equação diferencial ordinária (EDO), sem usar a tabela de transformadas de Laplace. Para isso, vamos utilizar algumas propriedades básicas da transformada de Laplace e trabalhar passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, a transformada de Laplace converte uma função do domínio do tempo t para o domínio da frequência s . A gente representa a transformada de Laplace de f(t) por F(s) :
F(s) = Lf(t)
Nosso objetivo é encontrar F(s) para a função f(t) = k t - sin(k t) .

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação f(t) = k t - sin(k t) :
Lf(t) = Lk t - Lsin(k t)
Isso nos dá:
F(s) = Lk t - Lsin(k t)

Passo 4

Agora, precisamos saber como transformar k t e sin(k t) . Vamos começar com Lk t .
Sabemos que:
Lt = 1s^2
Então, multiplicando por k :
Lk t = ks^2

Passo 5

Em seguida, vamos transformar sin(k t) . A transformada de Laplace de sin(a t) é:
Lsin(a t) = as^2 + a^2
No nosso caso, a = k , então:
Lsin(k t) = ks^2 + k^2

Passo 6

Agora, substituímos esses resultados de volta na expressão para F(s) :
F(s) = ks^2 - ks^2 + k^2

Resposta

A transformada de Laplace de f(t) = k t - sin(k t) é:
F(s) = ks^2 - ks^2 + k^2

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