Questão 3. ( 0,2 ponto) Calcule a integral de superfície do campo de vetores
para a superfície fechada e com orientação positiva
dada pela caixa
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo de vetores
através da superfície fechada e orientada positivamente
que é a fronteira da caixa
Como se trata de fluxo sobre superfície fechada, vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss), que diz
Passo 2
Calcular a divergência de
:
Derivando, obtemos
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência,
Escrevendo o integral em coordenadas cartesianas sobre
,
,
, temos
Passo 4
Vamos separar em três integrais:
-
.
Como o integrando não depende de, Elogo. -
.
É um produto de integrais independentes:Calculemos:Então -
.
Novamente é produto de integrais:
Passo 5
Somando as três contribuições: