Questão 3. ( 0,2 ponto) Calcule a integral de superfície do campo de vetores F(x, y, z)= sen(pi x) i+z y^3 j+(z^2+4 x) k para a superfície fechada e com orientação positiva S dada pela caixa [-1,2] times[0,1] times[1,4].

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo de vetores
F(x,y,z)=sin(pi x),vec i + z,y^3,vec j + (z^2+4x),vec k
através da superfície fechada e orientada positivamente S que é a fronteira da caixa
V = [-1,2]times[0,1]times[1,4]
Como se trata de fluxo sobre superfície fechada, vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss), que diz
integral duplaSFcdot d S ;=; integral triplaVnablacdot F,dV

Passo 2

Calcular a divergência de F:
nablacdot F =partialpartial xl(sin(pi x)r) +partialpartial yl(z,y^3r) +partialpartial zl(z^2+4xr)
Derivando, obtemos
nablacdot F =picos(pi x) + zcdot 3y^2 + 2z

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
integral duplaSFcdot d S =integral triplaVl[picos(pi x)+3z,y^2+2zr],dV
Escrevendo o integral em coordenadas cartesianas sobre xin[-1,2], yin[0,1], zin[1,4], temos
integral triplaVnablacdot F,dV =integral-1^2integral0^1integral1^4 l[picos(pi x)+3z,y^2+2zr],dz,dy,dx

Passo 4

Vamos separar em três integrais:
  1. I1=integral-1^2!!integral0^1!!integral1^4picos(pi x),dz,dy,dx.
    Como o integrando não depende de y,z,
    I1 =l(integral-1^2picos(pi x),dxr) l(integral0^1dyr) l(integral1^4dzr)
    E
    integral-1^2picos(pi x),dx =l[sin(pi x)r]-1^2 =sin(2pi)-sin(-pi)=0-0=0,
    logo I1=0.
  2. I2=integral-1^2!!integral0^1!!integral1^43z,y^2,dz,dy,dx.
    É um produto de integrais independentes:
    I2 =3l(integral-1^2dxr) l(integral0^1y^2,dyr) l(integral1^4z,dzr)
    Calculemos:
    integral-1^2dx = 3, integral0^1y^2,dy = tfrac13, integral1^4z,dz = tfrac12(4^2-1^2)=tfrac152
    Então
    I2 = 3cdot 3cdot tfrac13cdot tfrac152 = tfrac452
  3. I3=integral-1^2!!integral0^1!!integral1^42z,dz,dy,dx.
    Novamente é produto de integrais:
    I3 =2l(integral-1^2dxr) l(integral0^1dyr) l(integral1^4z,dzr) =2cdot 3cdot 1cdot tfrac152 =45

Passo 5

Somando as três contribuições:
integral duplaSFcdot d S =I1 + I2 + I3 =0 + tfrac452 + 45 =tfrac452 + tfrac902 =tfrac1352

Resposta

1352

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