Verifique que as funções
e
são diferenciáveis em
. Determine os planos tangentes aos gráficos de
e
em
e escreva as suas linearizações em
. Use estas linearizações para aproximar o valor de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções:
- $ f(x, y) = e^{x} \cos(xy) $
- $ g(x, y) = \frac{y - 1}{x + 1} $
Queremos verificar se essas funções são diferenciáveis no ponto
. Para isso, precisamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e planos tangentes. Depois, vamos determinar os planos tangentes aos gráficos dessas funções em
e escrever suas linearizações. Por fim, vamos usar essas linearizações para aproximar os valores de $ f(0,01; -0,02) $ e $ g(0,01; -0,02) $.
Passo 2
Vamos começar verificando se a função $ f(x, y) = e^{x} \cos(xy) $ é diferenciável em
. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ no ponto
.
Primeiro, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
No ponto
:
Agora, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
No ponto
:
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em
, a função $ f $ é diferenciável nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos determinar o plano tangente ao gráfico de $ f $ em
. O plano tangente tem a forma:
Aqui, $ (a,b) = (0,0) $, então:
Sabemos que $ f(0,0) = e^{0} \cos(0) = 1 $, $ f_x(0,0) = 1 $ e $ f_y(0,0) = 0 $. Portanto:
Esse é o plano tangente ao gráfico de $ f $ em
. A linearização de $ f $ em
é, então:
Passo 4
Vamos agora verificar a função $ g(x, y) = \frac{y - 1}{x + 1} $ no ponto
. Primeiro, calculamos as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e $ y $.
Primeiro, a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $:
No ponto
:
Agora, a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $:
No ponto
:
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em
, a função $ g $ é diferenciável nesse ponto.
Passo 5
Agora, determinamos o plano tangente ao gráfico de $ g $ em
. Usamos a mesma fórmula do plano tangente:
Aqui, $ (a,b) = (0,0) $, então:
Calculamos $ g(0,0) $:
Sabemos que $ g_x(0,0) = 1 $ e $ g_y(0,0) = 1 $. Portanto:
Esse é o plano tangente ao gráfico de $ g $ em
. A linearização de $ g $ em
é, então:
Passo 6
Agora que temos as linearizações das funções $ f $ e $ g $ em
, podemos usá-las para aproximar os valores de $ f(0,01; -0,02) $ e $ g(0,01; -0,02) $.
Para $ f $, usamos a linearização $ L_f(x, y) = 1 + x $:
Portanto, a aproximação de $ f(0,01; -0,02) $ é $ 1,01 $.
Para $ g $, usamos a linearização $ L_g(x, y) = -1 + x + y $:
Portanto, a aproximação de $ g(0,01; -0,02) $ é $ -1,01 $.
Resposta
As aproximações são $ f(0,01; -0,02) \approx 1,01 $ e $ g(0,01; -0,02) \approx -1,01 $.