Demonstre a transformada de laplace de
, por meio de EDO e não pela tabela de transformada de Laplace. Sendo que o resultado deve ser igual a
Passo 1
Beleza, vamos resolver a transformada de Laplace da função $ f(t) = kt - \sin(kt) $ usando uma equação diferencial ordinária (EDO). Para isso, vamos precisar entender a teoria das transformadas de Laplace e como aplicá-las em EDOs. Basicamente, vamos transformar a função no domínio do tempo para o domínio de $ s $, resolver a equação e encontrar a transformada desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a transformada de Laplace de $ f(t) $ de $ F(s) $, ou seja, $ F(s) = \mathcal{L}{f(t)} $. Sabemos que $ f(t) = kt - \sin(kt) $, então podemos escrever:
Mas como o exercício pede para resolver via EDO e não usar a tabela diretamente, vamos criar uma EDO que $ f(t) $ satisfaz.
Passo 3
Vamos derivar $ f(t) $ para montar a EDO. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Observamos que a segunda derivada está relacionada a $ \sin(kt) $, que aparece na nossa função original. Agora, vamos organizar esses termos para formar uma EDO.
Passo 4
A partir das derivadas, podemos escrever:
Mas sabemos que $ f(t) = kt - \sin(kt) $, então podemos isolar $ \sin(kt) $:
Substituindo isso na equação da segunda derivada:
Rearranjando:
Essa é a nossa equação diferencial que $ f(t) $ satisfaz.
Passo 5
Agora, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO:
Sabemos que:
Assumindo condições iniciais nulas ($ f(0) = 0 $ e $ f’(0) = 0 $):
Fatorando $ F(s) $:
Resposta
Portanto, isolando $ F(s) $: