Demonstre a transformada de laplace de f(t)=k t-sen(k t), por meio de EDO e não pela tabela de transformada de Laplace. Sendo que o resultado deve ser igual a
k^3s^2(s^2+k^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a transformada de Laplace da função $ f(t) = kt - \sin(kt) $ usando uma equação diferencial ordinária (EDO). Para isso, vamos precisar entender a teoria das transformadas de Laplace e como aplicá-las em EDOs. Basicamente, vamos transformar a função no domínio do tempo para o domínio de $ s $, resolver a equação e encontrar a transformada desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a transformada de Laplace de $ f(t) $ de $ F(s) $, ou seja, $ F(s) = \mathcal{L}{f(t)} $. Sabemos que $ f(t) = kt - \sin(kt) $, então podemos escrever:
f(t)
Mas como o exercício pede para resolver via EDO e não usar a tabela diretamente, vamos criar uma EDO que $ f(t) $ satisfaz.

Passo 3

Vamos derivar $ f(t) $ para montar a EDO. Primeiro, a primeira derivada:
f(t)
E a segunda derivada:
f'(t) = k - kcos(kt)
Observamos que a segunda derivada está relacionada a $ \sin(kt) $, que aparece na nossa função original. Agora, vamos organizar esses termos para formar uma EDO.

Passo 4

A partir das derivadas, podemos escrever:
f''(t) = k^2 sin(kt)
Mas sabemos que $ f(t) = kt - \sin(kt) $, então podemos isolar $ \sin(kt) $:
f(t) = kt - sin(kt)
Substituindo isso na equação da segunda derivada:
sin(kt)
Rearranjando:
sin(kt) = kt - f(t)
Essa é a nossa equação diferencial que $ f(t) $ satisfaz.

Passo 5

Agora, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO:
Lf''(t) + k^2 Lf(t) = k^3 Lt
Sabemos que:
Lf''(t) = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)
Assumindo condições iniciais nulas ($ f(0) = 0 $ e $ f’(0) = 0 $):
f(0) = 0
Fatorando $ F(s) $:
f'(0) = 0

Resposta

Portanto, isolando $ F(s) $:
F(s)

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