Questão 1. ( 0,4 ponto) Determine a área da região limitada pela curva astroide, cuja parametrização é dada por C:lx=cos (3 t) y=sen(3 t), onde 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da região que está delimitada por uma curva chamada astroid, que é descrita pelas equações paramétricas x = cos(3t) e y = sin(3t), onde 0 <= t <= 2pi. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo que envolvem cálculo de áreas de curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de uma curva parametrizada. Se temos uma curva definida por x = x(t) e y = y(t), a fórmula para a área A é dada por:
A = integrala^b y(t) cdot x'(t) , dt
onde x'(t) é a derivada de x(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de x(t). Dada x = cos(3t), a derivada de x em relação a t é:
x'(t) = -3 sin(3t)

Passo 4

Agora, vamos substituir y(t) e x'(t) na fórmula da área:
A = integral0^2pi sin(3t) cdot (-3 sin(3t)) , dt = -3 integral0^2pi sin^2(3t) , dt

Passo 5

A integral de sin^2(3t) pode ser resolvida usando a identidade trigonométrica:
sin^2(a) = 1 - cos(2a)2
Aplicando isso, temos:
-3 integral0^2pi 1 - cos(6t)2 , dt = -32 integral0^2pi (1 - cos(6t)) , dt

Passo 6

Vamos calcular a integral:
-32 [ integral0^2pi 1 , dt - integral0^2pi cos(6t) , dt ]
A integral de 1 de 0 a 2pi é 2pi, e a integral de cos(6t) de 0 a 2pi é zero, pois é uma função periódica completa. Então:
-32 (2pi - 0) = -32 cdot 2pi = -3pi

Passo 7

A área não pode ser negativa, pois representa uma magnitude. Portanto, tomamos o valor absoluto:
A = 3pi

Resposta

A área da região limitada pela curva astroid é 3pi.

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