Questão 1. ( 0,4 ponto) Determine a área da região limitada pela curva astroide, cuja parametrização é dada por
, onde
.
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da região que está delimitada por uma curva chamada astroid, que é descrita pelas equações paramétricas
e
, onde
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo que envolvem cálculo de áreas de curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de uma curva parametrizada. Se temos uma curva definida por
e
, a fórmula para a área
é dada por:
onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Dada
, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na fórmula da área:
Passo 5
A integral de
pode ser resolvida usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
A integral de 1 de 0 a
é
, e a integral de
de 0 a
é zero, pois é uma função periódica completa. Então:
Passo 7
A área não pode ser negativa, pois representa uma magnitude. Portanto, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região limitada pela curva astroid é
.