Exercício 3: Encontre y^prime e y^prime prime
y=e^e^x.

Passo 1

O enunciado pede as primeiras e segundas derivadas de y=e^e^x. Para isso vamos usar a regra da cadeia para derivar uma exponencial composta e, no caso da segunda derivada, também a regra do produto.

Passo 2

Defina u=e^x, de modo que y=e^u. Aplicando a regra da cadeia:
dydx = dydu,dudx
Temos dydu=e^u e dudx=e^x. Logo,
y' = e^u,e^x = e^e^x,e^x,

Passo 3

Agora derivamos y'=e^e^x,e^x. Use a regra do produto: se v=e^x e w=e^e^x, então
y'' = v',w + v,w',
Aqui v'=e^x e, aplicando novamente a cadeia em w,
w' = ddxe^e^x = e^e^xcdot e^x,
Portanto
y'' = e^x,e^e^x + e^x,l(e^e^x,e^xr) = e^e^x,e^xl(1 + e^xr),

Resposta

y' = e^xe^e^x
y'' = e^xe^e^xl(1 + e^xr)

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