Demonstre que o triângulo de vértices A(8,2), B(3,7) e C(2,1) é isósceles. Em seguida, calcule seu perímetro.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar que o triângulo com vértices A(8,2) , B(3,7) e C(2,1) é isósceles e, em seguida, calcular seu perímetro. Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nos ajuda a encontrar o comprimento dos lados do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos A e B . A fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Aplicando os valores de A(8,2) e B(3,7) :
AB = raiz(3 - 8)^2 + (7 - 2)^2 = raiz(-5)^2 + 5^2 = raiz25 + 25 = raiz50 = 5raiz2

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os pontos B e C :
BC = raiz(2 - 3)^2 + (1 - 7)^2 = raiz(-1)^2 + (-6)^2 = raiz1 + 36 = raiz37

Passo 4

Em seguida, calculamos a distância entre os pontos A e C :
AC = raiz(2 - 8)^2 + (1 - 2)^2 = raiz(-6)^2 + (-1)^2 = raiz36 + 1 = raiz37

Passo 5

Observamos que BC = AC = raiz37 . Como dois lados do triângulo são iguais, isso significa que o triângulo é isósceles.

Passo 6

Para calcular o perímetro do triângulo, somamos os comprimentos dos três lados:
P = AB + BC + AC = 5raiz2 + raiz37 + raiz37 = 5raiz2 + 2raiz37

Resposta

O triângulo ABC é isósceles e seu perímetro é 5raiz2 + 2raiz37 unidades.

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