Escalone, classifique e resolva os sistemas:
l-x+y-2 z=1 2 x-y+3 t=2 x-2 y+z-2 t=0

Passo 1

O sistema dado é
-x + y - 2z = 1, 2x - y + 3t = 2, x - 2y + z - 2t = 0
O que se pede é usar eliminação de Gauss (escalonar a matriz aumentada), determinar o posto para classificar o tipo de solução e, finalmente, escrever a solução geral.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e trocamos a linha 1 com a linha 3 para ter pivô 1 em (1,1):
[cccc|c -1 & 1 & -2 & 0 & 1 2 & -1 & 0 & 3 & 2 1 & -2 & 1 & -2 & 0 ] ;xrightarrowL1rightarrow L3; [cccc|c 1 & -2 & 1 & -2 & 0 2 & -1 & 0 & 3 & 2 -1& 1 &-2 & 0 & 1 ]
Agora eliminamos o x das linhas 2 e 3:
L2 L2 - 2L1, L3 L3 + L1
obtendo
[cccc|c 1 & -2 & 1 & -2 & 0 0 & 3 & -2 & 7 & 2 0 & -1 & -1 & -2 & 1 ]

Passo 3

Para criar pivô em y, dividimos L2 por 3 e usamos L2 nova para anular o -1 em L3, depois normalizamos L3 para pivô em z:
L2 tfrac13L2, L3 L3 + L2, L3 l(-tfrac35r)L3
O resultado escalonado é
[cccc|c 1 & -2 & 1 & -2 & 0 0 & 1 & -tfrac23 & tfrac73 & tfrac23 0 & 0 & 1 & -tfrac15 & -1 ]

Passo 4

Fazendo retro-substituição:
Da linha 3:
z - tfrac15t = -1 Longrightarrow z = -1 + tfrac15t
Da linha 2:
y - tfrac23z + tfrac73t = tfrac23 ;Longrightarrow; y = -tfrac115t
Da linha 1:
x - 2y + z - 2t = 0 ;Longrightarrow; x = 1 - tfrac135t

Passo 5

O posto da matriz dos coeficientes é 3 (há três pivôs) e o posto da matriz aumentada também é 3. Como há 4 incógnitas, temos 4 - 3 = 1 grau de liberdade, isto é, infinitas soluções paramétricas.

Resposta

Tomando t = muinR, a solução geral é
x = 1 - tfrac135mu, y = -tfrac115mu, z = -1 + tfrac15mu, t = mu
Em forma vetorial:
(x,y,z,t) = (1,0,-1,0) + mul(-tfrac135, -tfrac115, tfrac15,1r), muinR

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