Se (m+2 n, m-4) e (2-m, 2 n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então m^n é igual a:
a) -2
b) 0
c) raiz 2
d) 1
e) 1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre pontos no plano cartesiano. Queremos descobrir o valor de m^n sabendo que os pontos (m + 2n, , m - 4) e (2 - m, , 2n) são o mesmo ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra básica, especialmente igualando as coordenadas dos pontos para encontrar os valores de m e n .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que os dois pontos são iguais. Se dois pontos são iguais no plano cartesiano, suas coordenadas x e y devem ser iguais. Então, podemos igualar as coordenadas correspondentes:
m + 2n = 2 - m (coordenadas x)
m - 4 = 2n (coordenadas y)

Passo 3

Agora, vamos resolver a primeira equação para encontrar uma relação entre m e n . Somando m dos dois lados da equação:
m + 2n + m = 2
2m + 2n = 2
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:
m + n = 1

Passo 4

Temos agora duas equações:
  1. m + n = 1
  2. m - 4 = 2n
Vamos resolver o segundo passo para expressar m em termos de n :
m = 2n + 4

Passo 5

Substituímos o valor de m encontrado na equação m + n = 1 :
(2n + 4) + n = 1
3n + 4 = 1
Agora, isolamos n :
3n = 1 - 4
3n = -3
n = -1

Passo 6

Com o valor de n encontrado, voltamos para a equação m = 2n + 4 para encontrar m :
m = 2(-1) + 4
m = -2 + 4
m = 2

Resposta

Então, m = 2 e n = -1 . Agora, calculamos m^n :
m^n = 2^-1 = 12
Portanto, a resposta correta é a letra e) 12 .

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