• Questão 14. Calcule as derivadas das funções abaixo
    y=(x^2+1) arctg(3 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = (x^2+1),arctg(3x)
Aqui vamos usar a regra do produto (derivada de fcdot g) e a regra da cadeia para arctg(u).

Passo 2

Seja
f(x)=x^2+1, g(x)=arctg(3x)
Pela regra do produto,
y' = f'(x),g(x) + f(x),g'(x)
Como f'(x)=2x, temos
y' = 2x,arctg(3x) + (x^2+1),g'(x)

Passo 3

Agora calculamos g'(x). Como g(x)=arctg(u) com u=3x, pela regra da cadeia:
ddxl[arctg(u)r] = u'1+u^2 = 31+(3x)^2 = 31+9x^2
Portanto g'(x)=tfrac31+9x^2.

Passo 4

Substituindo g'(x) em y':
y' = 2x,arctg(3x) + (x^2+1),31+9x^2 = 2x,arctg(3x) + 3(x^2+1)1+9x^2

Resposta

y' = 2x,arctg(3x) + 3(x^2+1)1+9x^2

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