Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
U=rho^2 z cos (2 phi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o gradiente do campo escalar U = rho^2 z cos(2 phi) . A gente vai usar o conceito de gradiente em coordenadas cilíndricas, que é essencial para calcular como uma função muda em diferentes direções no espaço. Precisamos lembrar da fórmula do gradiente nessas coordenadas e calcular as derivadas parciais de U em relação a rho , phi e z .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o gradiente em coordenadas cilíndricas. A fórmula é:
nabla U = partial Upartial rho erho + 1rho partial Upartial phi ephi + partial Upartial z ez
Onde erho , ephi e ez são os vetores unitários nas direções rho , phi e z , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial uma por uma. Primeiro, a derivada de U em relação a rho :
partial Upartial rho = partialpartial rho ( rho^2 z cos(2 phi) ) = 2 rho z cos(2 phi)

Passo 4

Agora, a derivada de U em relação a phi :
partial Upartial phi = partialpartial phi ( rho^2 z cos(2 phi) ) = -2 rho^2 z sin(2 phi)
E lembrando que na fórmula do gradiente temos 1rho partial Upartial phi :
1rho partial Upartial phi = 1rho ( -2 rho^2 z sin(2 phi) ) = -2 rho z sin(2 phi)

Passo 5

Por último, a derivada de U em relação a z :
partial Upartial z = partialpartial z ( rho^2 z cos(2 phi) ) = rho^2 cos(2 phi)

Resposta

Então, juntando tudo, o gradiente de U é:
nabla U = 2 rho z cos(2 phi) erho - 2 rho z sin(2 phi) ephi + rho^2 cos(2 phi) ez

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