Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o gradiente do campo escalar
. A gente vai usar o conceito de gradiente em coordenadas cilíndricas, que é essencial para calcular como uma função muda em diferentes direções no espaço. Precisamos lembrar da fórmula do gradiente nessas coordenadas e calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o gradiente em coordenadas cilíndricas. A fórmula é:
Onde
,
e
são os vetores unitários nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial uma por uma. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, a derivada de
em relação a
:
E lembrando que na fórmula do gradiente temos
:
Passo 5
Por último, a derivada de
em relação a
:
Resposta
Então, juntando tudo, o gradiente de
é: