Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para determinar o gradiente de um campo escalar específico:
. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente ao estudo de gradientes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar como
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Mantemos
e
constantes durante essa derivada.
Como
e
são constantes em relação a
, a derivada fica:
Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
, mantendo
e
constantes.
Aqui,
e
são constantes em relação a
, então:
Portanto:
Passo 5
Por último, vamos derivar
em relação a
, mantendo
e
constantes.
Nesse caso,
e
são constantes em relação a
, então:
Assim:
Resposta
Juntando tudo, o gradiente de
é: