Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
V=e^-z sin (2 x) cosh (y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para determinar o gradiente de um campo escalar específico: V = e^-z sin(2x) cosh(y) . Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente ao estudo de gradientes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de V em relação a cada uma das variáveis x , y e z .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar como V(x, y, z) é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e cujas componentes são as derivadas parciais de V em relação a cada variável. Ou seja:
nabla V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y, partial Vpartial z )

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de V em relação a x . Mantemos y e z constantes durante essa derivada.
partial Vpartial x = partialpartial x ( e^-z sin(2x) cosh(y) )
Como e^-z e cosh(y) são constantes em relação a x , a derivada fica:
partial Vpartial x = e^-z cosh(y) cdot ddx sin(2x) = e^-z cosh(y) cdot 2cos(2x)
Então:
partial Vpartial x = 2 e^-z cos(2x) cosh(y)

Passo 4

Agora, vamos derivar V em relação a y , mantendo x e z constantes.
partial Vpartial y = partialpartial y ( e^-z sin(2x) cosh(y) )
Aqui, e^-z e sin(2x) são constantes em relação a y , então:
partial Vpartial y = e^-z sin(2x) cdot ddy cosh(y) = e^-z sin(2x) cdot sinh(y)
Portanto:
partial Vpartial y = e^-z sin(2x) sinh(y)

Passo 5

Por último, vamos derivar V em relação a z , mantendo x e y constantes.
partial Vpartial z = partialpartial z ( e^-z sin(2x) cosh(y) )
Nesse caso, sin(2x) e cosh(y) são constantes em relação a z , então:
partial Vpartial z = sin(2x) cosh(y) cdot ddz e^-z = sin(2x) cosh(y) cdot (-e^-z)
Assim:
partial Vpartial z = - e^-z sin(2x) cosh(y)

Resposta

Juntando tudo, o gradiente de V é:
nabla V = ( 2 e^-z cos(2x) cosh(y), e^-z sin(2x) sinh(y), - e^-z sin(2x) cosh(y) )

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