Sejam
e
números inteiros positivos. Mostre que, se
, então
, para todo inteiro
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede isto:
- Dados:
e são números inteiros positivos e satisfazem . - Pedido: mostrar que, para todo inteiro
, vale .
Passo 2
Escolha do método: vou usar o princípio da indução matemática sobre o inteiro
.
Por que indução? Porque a propriedade que queremos provar depende de um inteiro e é natural provar primeiro um caso inicial e depois mostrar que, se vale para um
, então vale para
. Esse é um método simples e direto que costuma aparecer em provas e em exames.
Por que indução? Porque a propriedade que queremos provar depende de um inteiro
Passo 3
Base da indução (caso
).
Aqui e
. Como o enunciado diz que
, concluímos imediatamente que
Aqui
Portanto a propriedade é verdadeira para
.
Passo 4
Passo indutivo — hipótese de indução.
Suponha que para algum inteiro já sabemos que
Suponha que para algum inteiro
Esta é a hipótese de indução. O objetivo agora é provar que a partir disso segue
Passo 5
Observações úteis e regra de desigualdade:
Como e
são inteiros positivos, temos
e
. Uma propriedade básica de desigualdades é: se
e
, então
(multiplicar ambos os lados por um número positivo preserva a desigualdade). Vou usar isso duas vezes.
Como
Passo 6
Aplicando a hipótese de indução e a propriedade de multiplicação por positivo:
Da hipótese , multiplicando ambos os lados por
obtemos
Da hipótese
ou seja
Por outro lado, da desigualdade inicial
multiplicada por
segue
ou seja
Passo 7
Concluindo o passo indutivo juntando as duas desigualdades:
Temos a cadeia
Temos a cadeia
logo em particular
Isso mostra que, sempre que a desigualdade é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
.
Passo 8
Conclusão por indução.
Como a propriedade vale para e o passo indutivo foi estabelecido (de
para
), pelo princípio da indução matemática a propriedade vale para todo inteiro
. Em outras palavras, sempre que
e
são inteiros positivos com
, então para todo inteiro
tem-se
.
Como a propriedade vale para
Resposta
Para todo inteiro
vale
.