Sejam a e b números inteiros positivos. Mostre que, se a<b, então a^{n}<b^{n}, para todo inteiro n \geq 1.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede isto:
  • Dados: a e b são números inteiros positivos e satisfazem a<b.
  • Pedido: mostrar que, para todo inteiro n\ge 1, vale \,a^{n}<b^{n}.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o princípio da indução matemática sobre o inteiro n.
Por que indução? Porque a propriedade que queremos provar depende de um inteiro n e é natural provar primeiro um caso inicial e depois mostrar que, se vale para um n, então vale para n+1. Esse é um método simples e direto que costuma aparecer em provas e em exames.

Passo 3

Base da indução (caso n=1).
Aqui a^{1}=a e b^{1}=b. Como o enunciado diz que a<b, concluímos imediatamente que
a^{1}<b^{1}.
Portanto a propriedade é verdadeira para n=1.

Passo 4

Passo indutivo — hipótese de indução.
Suponha que para algum inteiro k\ge 1 já sabemos que
a^{k}<b^{k}.
Esta é a hipótese de indução. O objetivo agora é provar que a partir disso segue
a^{k+1}<b^{k+1}.

Passo 5

Observações úteis e regra de desigualdade:
Como a e b são inteiros positivos, temos a>0 e b>0. Uma propriedade básica de desigualdades é: se x<y e c>0, então cx<cy (multiplicar ambos os lados por um número positivo preserva a desigualdade). Vou usar isso duas vezes.

Passo 6

Aplicando a hipótese de indução e a propriedade de multiplicação por positivo:
Da hipótese a^{k}<b^{k}, multiplicando ambos os lados por a>0 obtemos
a^{k}\cdot a < b^{k}\cdot a,
ou seja
a^{k+1} < a\,b^{k}.
Por outro lado, da desigualdade inicial a<b multiplicada por b^{k}>0 segue
a\,b^{k} < b\,b^{k},
ou seja
a\,b^{k} < b^{k+1}.

Passo 7

Concluindo o passo indutivo juntando as duas desigualdades:
Temos a cadeia
a^{k+1} < a\,b^{k} < b^{k+1},
logo em particular
a^{k+1} < b^{k+1}.
Isso mostra que, sempre que a desigualdade é verdadeira para k, ela também é verdadeira para k+1.

Passo 8

Conclusão por indução.
Como a propriedade vale para n=1 e o passo indutivo foi estabelecido (de k para k+1), pelo princípio da indução matemática a propriedade vale para todo inteiro n\ge 1. Em outras palavras, sempre que a e b são inteiros positivos com a<b, então para todo inteiro n\ge 1 tem-se a^{n}<b^{n}.

Resposta

Para todo inteiro n\ge 1 vale a^{n}<b^{n}.

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