Demonstre usando vetores que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases e sua medida é a semi-diferença das medidas das bases.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar vetores para mostrar que o segmento que liga os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases e que o comprimento desse segmento é igual à metade da diferença entre as medidas das bases. Então, vamos trabalhar com geometria vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um trapézio ABCD, onde AB e CD são as bases, e AD e BC são os lados não paralelos. Vamos identificar as diagonais AC e BD e encontrar os pontos médios dessas diagonais, digamos M e N.

Passo 3

Vamos definir os vetores posição dos pontos A, B, C e D como a, b, c e d, respectivamente. O ponto médio M da diagonal AC pode ser encontrado pela média dos vetores a e c:
m = a + c2
Analogamente, o ponto médio N da diagonal BD é:
n = b + d2

Passo 4

O segmento que une os pontos médios M e N é representado pelo vetor MN = n - m. Vamos calcular esse vetor:
MN = b + d2 - a + c2 = (b + d) - (a + c)2 = (b - a) + (d - c)2

Passo 5

No trapézio, as bases AB e CD são paralelas, o que significa que os vetores que as representam são paralelos. Vamos chamar $ \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} $ e $ \vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} $. Então:
AB = b - a

Passo 6

Para que $ \vec{MN} $ seja paralelo às bases, $ \vec{MN} $ deve ser uma combinação linear de $ \vec{AB} $ e $ \vec{CD} $. Como $ \vec{MN} $ é a média entre $ \vec{AB} $ e $ \vec{CD} $, claramente ele está na mesma direção, ou seja, é paralelo às bases.

Passo 7

Agora, vamos calcular o comprimento de $ \vec{MN} $. Sabemos que:
MN
Como $ \vec{AB} $ e $ \vec{CD} $ são paralelos e em direções opostas (uma base maior que a outra), a diferença entre eles será:
|MN| = | AB + CD2 |
Portanto, o comprimento de AB é a metade da diferença entre as medidas das bases.

Resposta

O segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases e sua medida é igual à metade da diferença das medidas das bases.

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