Demonstre usando vetores que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases e sua medida é a semi-diferença das medidas das bases.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar vetores para mostrar que o segmento que liga os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases e que o comprimento desse segmento é igual à metade da diferença entre as medidas das bases. Então, vamos trabalhar com geometria vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um trapézio , onde e são as bases, e e são os lados não paralelos. Vamos identificar as diagonais e e encontrar os pontos médios dessas diagonais, digamos e .
Passo 3
Vamos definir os vetores posição dos pontos , , e como , , e , respectivamente. O ponto médio da diagonal pode ser encontrado pela média dos vetores e :
Analogamente, o ponto médio da diagonal é:
Passo 4
O segmento que une os pontos médios e é representado pelo vetor . Vamos calcular esse vetor:
Passo 5
No trapézio, as bases e são paralelas, o que significa que os vetores que as representam são paralelos. Vamos chamar $ \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} $ e $ \vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} $. Então:
Passo 6
Para que $ \vec{MN} $ seja paralelo às bases, $ \vec{MN} $ deve ser uma combinação linear de $ \vec{AB} $ e $ \vec{CD} $. Como $ \vec{MN} $ é a média entre $ \vec{AB} $ e $ \vec{CD} $, claramente ele está na mesma direção, ou seja, é paralelo às bases.
Passo 7
Agora, vamos calcular o comprimento de $ \vec{MN} $. Sabemos que:
Como $ \vec{AB} $ e $ \vec{CD} $ são paralelos e em direções opostas (uma base maior que a outra), a diferença entre eles será:
|MN| = | AB + CD2 |
Portanto, o comprimento de AB é a metade da diferença entre as medidas das bases.
Resposta
O segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases e sua medida é igual à metade da diferença das medidas das bases.