Resolva a equação diferencial y" + 4y’ + 13y = 0.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial dada. Substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1 na equação:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 4 $ e $ c = 13 $. Substituindo:
Passo 4
Como os valores de $ r $ são complexos na forma $ \alpha \pm \beta i $, sabemos que a solução geral da equação diferencial será:
Substituindo $ \alpha = -2 $ e $ \beta = 3 $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: