Resolva a equação diferencial y" + 4y’ + 13y = 0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' + 4y' + 13y = 0
Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial dada. Substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1 na equação:
y''

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 4 $ e $ c = 13 $. Substituindo:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a = 1
b = 4
c = 13

Passo 4

Como os valores de $ r $ são complexos na forma $ \alpha \pm \beta i $, sabemos que a solução geral da equação diferencial será:
r
Substituindo $ \alpha = -2 $ e $ \beta = 3 $:
alpha pm beta i

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^-2x ( C1 cos(3x) + C2 sin(3x) )

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