Demonstre, utilizando a definição, que:
lim x 1 / 4 raizx=1 / 2

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando a definição epsilon de<a, que
limxto tfrac14raizx = tfrac12.
O conteúdo é análise de limites de funções reais, e vamos usar a definição formal: para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que
se 0<|x-tfrac14|<de<a então l|raizx-tfrac12r|<varepsilon.

Passo 2

Vamos expressar l|raizx-tfrac12r| em termos de l|x-tfrac14r| usando o conjugado:
l|raizx-tfrac12r| = l|raizx-tfrac12r|;l|raizx+tfrac12r|raizx+tfrac12 = l|x-tfrac14r|raizx+tfrac12

Passo 3

Para garantir que raizx esteja definido e positivo, exigimos
de<a <= tfrac14.
Assim, se 0<|x-tfrac14|<de<a<=tfrac14 então
xin(1/4-tfrac14,,1/4+tfrac14) = (0,,1/2),
logo raizx>=0 e
raizx+tfrac12 >= tfrac12
Portanto
l|raizx-tfrac12r| <= l|x-tfrac14r|tfrac12 =2,l|x-tfrac14r|

Passo 4

Dado varepsilon>0, escolhemos
de<a = minltfrac14,;tfracvarepsilon2r
Então, se 0<|x-tfrac14|<de<a temos
l|raizx-tfrac12r|<=2,|x-tfrac14|<2de<a<=2cdottfracvarepsilon2=varepsilon
Isso mostra que, pela definição,
limxto tfrac14raizx = tfrac12.

Resposta

O limite é tfrac12.

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